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Sì è giusta.

_Ipazia_ ha scritto:Così fanno tutti e si salvano, indipendentemente da quanti sono.

Piu' o meno: se sono infinito (numerabile) non funziona

ndp15 ha scritto:Sì è giusta.

Oh bene, finalmente. Bel problema davvero

jordan ha scritto:

_Ipazia_ ha scritto:Così fanno tutti e si salvano, indipendentemente da quanti sono.

Piu' o meno: se sono infinito (numerabile) non funziona

Ah giusto

jordan ha scritto:

_Ipazia_ ha scritto:Così fanno tutti e si salvano, indipendentemente da quanti sono.

Piu' o meno: se sono infinito (numerabile) non funziona

Scusate ragazzi ma mi manca il concetto di infinito numerabile

Si dice che un insieme è infinito numerabile se puoi ordinare i propri elementi in una qualche relazione. Per i naturali è abbastanza ovvia (basta la relazione "maggiore/minore di". Per dimostrare la numerabilità dei razionali ovviamente non si può utilizzare il concetto di successivo, tuttavia si può usare il metodo usato da Cantor: disporre tutti gli elementi razionali in righe e colonne (sulle righe si aumenta il numeratore di 1 verso destra, sulle colonne il denominatore) e si procede lungo le "diagonali" (dopo aver cancellato gli elementi doppi). In questo modo abbiamo ordinato i razionali, che formano un insieme infinito numerabile (http://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_razionali) la figurina nella sezione appropriata dovrebbe chiarirti le idee visto che mi sono spiegato da cani.
Al contrario i reali non si possono ordinare, quindi si dice che sono un insieme infinto non numerabile

Triarii ha scritto:metodo usato da Cantor

Ma che figata

Triarii che intendi per ordinare in una relazione? Perché il concetto che mi viene in mente è quello di relazione d'ordine (si veda wikipedia) ma non centra con la definizione di infinito numerabile.
Quest'ultima suona invece come: un insieme si dice che ha cardinalità infinito numerabile se i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi di $ \mathbb{N} $
Ad esempio hanno questa proprietà $ \mathbb{N} $ stesso (ovviamente), l'insieme dei numeri pari (perchè?), l'insieme dei numeri razionali (e la dimostrazione è quella di cui ha parlato Triarii).

Sì, mi sono spiegato male. Quando dico ordinare intendo riuscire a trovare una successione che contenga tutti gli elementi dell'insieme. In questo modo è possibile metterli in corrispondenza biunivoca con N perchè appunto li riesci a "contare". O mi sto sbagliando?

ndp15 ha scritto:l'insieme dei numeri pari (perchè?)

Banalmente associamo all' $ n $esimo numero pari il $ 2n $esimo numero naturale...
No però mi sembra troppo facile... Non so se ho capito perfettamente D:
$ Z $ ha cardinalità infinito numerabile? Potrei creare un doppio indice come per il caso dei razionali? (Uno per il modulo e uno per il segno)...
Ma la dimostrazione di cui ha parlato Triarii non è biunivoca... O no?

simone256 ha scritto:Banalmente associamo all' $ n $esimo numero pari il $ 2n $esimo numero naturale...

Ancora non ci siamo: quindi che numero pari sarebbe associato al 7?

simone256 ha scritto:$ \mathbb{Z} $ ha cardinalità infinito numerabile?

Sì..

simone256 ha scritto:Potrei creare un doppio indice come per il caso dei razionali? (Uno per il modulo e uno per il segno)...

Devi semplicemente creare una funzione biettiva tra $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$, come è stato fatto tra $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Q}$ (è davvero biettiva?)..

Bonus: mostrare che l'insieme dei polinomi a coefficienti razionali è numerabile.

Ecco c'è la questione del "biettiva"...
Ma scusa nella relazione tra naturali e razionali noi abbiamo che per più coppie di numeri naturali otteniamo lo stesso numero razionale... Ameno che consideriamo $ \frac ab $ diverso da $ \frac{ka}{kb} $ (come si fa il simbolo "diverso"?)
Oh aspettate... Io ho delle basi di teoria mostruosamente indecenti e posso dire grandi minchiate... Non offendetevi
Mentre per il caso dei pari potremmo dire che al $ n $esimo numero pari associamo l'$ n $esimo numero naturale?
Quindi 7 lo assoceremmo con 14...

jordan ha scritto:Bonus: mostrare che l'insieme dei polinomi a coefficienti razionali è numerabile.

Beh possiamo considerare un qualsiasi polinomio di grado $ n $:
Per il primo termine associamo un numero razionale sapendo che esso ha cardinalità infinito numerabile; e a sua volta è generato da due numeri interi...
Per il secondo...
...
Per il termine noto...

Quindi avremo $ n+1 $ numeri razionali (i coefficienti) quindi una funzione biettiva che associa un polinomio di grado $ n $ a $ 2(n+1) $ numeri naturali!

Piccola considerazione:
Conosco poco le funzioni e il concetto di biettività soprattutto se entrano in gioco più variabili
Ho detto di sicuro un sacco di bestiate quindi... Scusate

P.s.
Nella dimostrazione di triari... Se il denominatore è $ 0 $... Chefammo? D:

simone256 ha scritto:

Triarii ha scritto:metodo usato da Cantor

Ma che figata

Pensandoci è abbastanza banale...
Anche se il concetto generale sembra chiaro, in realtà sono convinto che mi sia sfuggito ancora qualche particolare "formale"...
Ma una funzione avente (per esempio) due variabili indipendenti $ x $ e $ y $ si dice biunivoca se per ogni coppia $ (x,y) $ abbiamo un valore $ z $ e se per $ (x,y)_1 $ diverso da $ (x,y)_2 $ allora $ z_1 $ diverso da $ z_2 $?
A proposito... Non so neanche se esistono funzioni di questo tipo

Mi pare ovvio che lo 0 al denominatore non lo metti... poi ho detto che i numeri doppi vanno eliminati

Prima di provare a risolvere quello dei polinomi a coefficienti razionali, devi per lo meno essere sicuro che $\mathbb{Q}$ è numerabile, visto che quell'insieme contiene tutti polinomi della forma $ax$ con $a$ razionale, per cui avrà un numero di elementi "a occhio" maggiore di quello dei razionali..

In ordine:

1) Come dimostri che l'insieme degli interi pari positivi è numerabile?

2) Come dimostri che l'insieme degli interi è numerabile?

3) Come dimostri che l'insieme degli interi pari è numerabile?

4) Come dimostri che l'insieme dei razionali positivi è numerabile?

5) Come dimostri che l'insieme dei razionali è numerabile?


Ps. Non è quello per cui è nato il problema, nè la sezione giusta, ma sapere queste cose non fa sicuro male!

Triarii ha scritto:Mi pare ovvio che lo 0 al denominatore non lo metti... poi ho detto che i numeri doppi vanno eliminati

In questo modo rispettiamo la biettivitá della funzione? Non è che facciamo troppi... magheggi?
Jordan domani provo che ho già una mezza idea sui primi... Però adesso sono sul cellulare... a domani!