circonferenze

[dan_tcaci]

Sia ABC un triangolo isoscele di base AB iscritto in una circonferenza Gamma di raggio r.
Dal punto medio del altezza CH tracciare la retta s perpendicolare a CH e indicare con D, E i punti in cui s interseca Gamma . Determinare per quale misure dell'altezza CH si ha AB<2CE.

[simone256]

Testo nascosto:

$ ABC $ deve essere acutangolo?
Ossia $ CH>\frac{AB}{2} $?

Se mi dici che funziona provo a fare una dimostrazione che a prima vista mi è sembrata lunghina

[dan_tcaci]

non necessariamente..... ( lo trovato su un vecchio libro di geometria per le superiori, di conseguenza dovrebbe essere facile)

[dan_tcaci]

comunque si deve lavorare anche sulle disequazioni AB<2CE.

[Karl Zsigmondy]

Sia P il punto medio di CH, Q il punto in cui CH interseca $ \Gamma $. Dato che ABC è isoscele, CH è anche asse di AB, quindi CQ è diametro di $ \Gamma $. Per Euclide si ha che $ CE^2 = CP \cdot CQ = \frac{CH}{2} \cdot 2r = r \cdot CH $. Ora, sempre per Euclide, $ CA^2 = 2r \cdot CH $ e quindi $ AB^2 = 4(CA^2 - CH^2) = 4(2r \cdot CH - CH^2) = 4CH \cdot (2r - CH) $. Sostituendo tali valori di AB e CE nella relazione iniziale ottengo (elevando al quadrato): $ 4CH \cdot (2r - CH) < 4r \cdot CH $ ovvero $ CH>r $ che vale se e solo se ABC è acutangolo.

[EvaristeG]

non necessariamente..... ( lo trovato su un vecchio libro di geometria per le superiori, di conseguenza dovrebbe essere facile)

Credo non vi siate capiti
simone256 non chiedeva se *tra le ipotesi* rientrava *acutangolo*, ma chiedeva se la risposta era "la disuguaglianza richiesta vale se e solo se il triangolo è acutuangolo" (e la risposta a quest'ultima domanda era "Sì").