46. Una concorrenza non sorprendente

[Karl Zsigmondy]

Siano A, B, C, D punti distinti su una retta, in quest'ordine. Le circonferenze di diametro AC e BD si intersecano in X e Y. O è un punto arbitrario sulla retta XY, ma non è un punto di AD. CO interseca la circonferenza di diametro AC in M, e Bo interseca la circonferenza di diametro BD in N. Provare che le rette AM, DN, XY concorrono.

[mat94]

Un altro bel problema
Supponiamo che DN e AM non incontrano XY nello stesso punto. Il punto in cui DN incontra XY è l'ortocentro di BOD che chiamiamo Q. Il punto in cui AM incontra XY è l'ortocentro di AOC che chiamiamo P. Sia R l'intersezione tra AD e XY. Poichè P e Q sono ortocentri si ha la similitudine tra i triangoli ORC e ARP e tra i triangoli ORB e QRD. Da queste similitudine si ottengono le relazioni: $OR\cdot PR=RC\cdot RA$ e $OR\cdot QR=RB\cdot RD$. Ma poiché R sta sull'asse radicale si ha $RC\cdot RA=RB\cdot RD$. Quindi P e Q coincidono.

[Karl Zsigmondy]

IMO 1992/1... vai col prossimo!