Triangolo ortico

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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Hawk
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Triangolo ortico

Messaggio da Hawk » 01 gen 2013, 19:29

Spostato nel glossario -- EG

Come si dimostra che il triangolo ortico ha circoraggio pari a metà del triangolo iniziale?
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »

Ido Bovski
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Re: Triangolo ortico

Messaggio da Ido Bovski » 01 gen 2013, 20:27

Chiama $\triangle ABC$ il tuo 'triangolo iniziale' e $H$ l'ortocentro di questo. L'omotetia di centro $H$ e ragione $1/2$ manda la circonferenza circoscritta ad $\triangle ABC$ nella circonferenza di Feuerbach... perché?

EvaristeG
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Re: Triangolo ortico

Messaggio da EvaristeG » 01 gen 2013, 21:51

Forse perché non lo sapeva? Completiamo la risposta di Ido Bovski: i simmetrici di $H$ rispetto ai lati stanno sulla circonferenza circoscritta ad $ABC$ (esercizio per il viandante curioso) e dunque l'omotetia di centro $H$ e fattore $1/2$ porta questi simmetrici sui piedi delle altezze; dunque porta la circonferenza circoscritta ad $ABC$ nella circonferenza circoscritta al triangolo ortico.

Vi son tuttavia altre soluzioni (ve le lascio così):

1. Quanto valgono i lati e l'area del triangolo ortico? (magari senza calcolare gli angoli)
2. Quanto valgono gli angoli? (con uno dei lati di prima, il raggio della circoscritta si calcola)
3. Che succede invertendo rispetto alla circonferenza che ha un lato del "triangolo iniziale" come diametro?

PS: sposto tutto nel glossario!

dario2994
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Re: Triangolo ortico

Messaggio da dario2994 » 01 gen 2013, 21:56

Ido Bovski ha scritto:...perché?
:lol: :lol: :lol:
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
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Hawk
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Re: Triangolo ortico

Messaggio da Hawk » 01 gen 2013, 22:56

Faccio prima l'esercizio del viandante :D .
Immagine
Mostro che AH'BC è ciclico. Per dimostrarlo sfrutto la disposizione degli angoli intorno l'ortocentro (vabbè questo non lo dimostro ma è semplice, segue per angle-chasing e dal fatto che l'ortocentro di ABC è l'incentro del triangolo ortico). Comunque trovando gli angoli che mi servono ($ H \hat A B $ ed $ H\hat BA $ per semplice differenza sui triangoli rettangoli) e quindi per simmetria trovo tutti gli angoli di ABH'. Dimostrata la ciclicità di AH'BC, in quanto si verifica che la somma dei lati opposti è 180, basta ricordare che la circonferenza passante per tre punti è unica per cui H' deve appartenere alla circonferenza circoscritta di ABC.
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