Un tentativo per i primi due punti, non so se scritto (e pensato) correttamente (devo dire che l'esercizio non mi ha entusiasmato e l'ho trovato abbastanza complicato nella mia scarsezza)
(a) Definiamo tre funzioni $r_0(y), r_1(y), r_2(y)$ da $\mathbb{Z}$ in $\mathbb{R}$ tali che si ha
$$(1)\ \ \ f(x,y)=r_0(y)+r_1(y)x+r_2(y)x^2 \ \ \ \forall\ y\in\mathbb{Z}$$
In questo modo abbiamo tradotto in maniera trattabile la condizione che fissato $y$ la $f(x,y)$ sia una quadratica in $x$.
Consideriamo ora
$$f'(x,y)=f(x+1,y)-f(x,y)=[r_0(y)+r_1(y)(x+1)+r_2(y)(x+1)^2]-[r_0(y)+r_1(y)x+r_2(y)x^2]$$
Svolgendo i conti si ottiene
$$(2)\ \ \ f'(x,y)=r_1(y)+r_2(y)+2xr_2(y)$$
E adesso andiamo ancora avanti definendo analogamente $f''(x,y)$ si ottiene dunque
$$(3)\ \ \ f''(x,y)=f'(x+1,y)-f'(x,y)=[r_1(y)+r_2(y)+2(x+1)r_2(y)]-[r_1(y)+r_2(y)+2xr_2(y)]=2r_2(y)\ \ \forall\ x,y\in\mathbb{Z^2}$$
Quindi $f''(x,y)=r_2(y)$ che è indipendente da $x$; ma fissato $x=x_0\in\mathbb{Z}$ si ha che $f(x_0,y)$ è un polinomio al massimo di secondo grado in $y$ per ipotesi, da cui per ogni scelta di $x_0$ si ha che $f'(x_0,y)$ è differenza di polinomi in $y$ di grado $\leq 2$, quindi è anch'esso un polinomio in $y$ di grado $\leq 2$, ed esattamente allo stesso modo si procede per $f''(x_0,y)$, trovando che è un polinomio di grado $\leq 2$ in $y$, che però (per quanto affermato prima)
non dipende da $x$, e dunque deve essere un polinomio solo in $y$ di grado al massimo $2$.
Ma allora guardando la $(3)$ anche $r_2(y)$ è un polinomio in $y$ di grado al massimo $2$ (in quanto coincide in ogni punto del dominio con un polinomio in $y$ di grado al massimo $2$), e quindi dalla $(2)$ si ha che $r_1(y)$ è somma di polinomi in $y$ di grado al massimo $2$ e lo è dunque a sua volta, infine dalla $(1)$ esattamente allo stesso modo si deduce che $r_0(y)$ è un polinomio di grado $2$ in $y$. Ma allora ci basta riguardare la $(1)$ e notare che abbiamo
$$f(x,y)=p_0(y)+p_1(y)x+p_2(y)x^2, \ \ \textrm{con $p$ polinomio di grado $\leq 2$}$$
Che è la tesi (anche se in effetti il problema è abbastanza strano e non sono per nulla sicuro di avere una "vera" dimostrazione che non si morda la coda
).
(b) Per questo si dovrebbe fare allo stesso modo, solo che al posto di $2$ mettiamo $D$ e le $f$ apostrofate aumentano (in generale potrebbe essere utile formalizzare con il fatto che $\Delta P(x):=P(x+1)-P(x)$ ha grado $\leq \deg(P)-1$, il fatterello noto sulle differenze finite che viene semplicemente sostituendo).