Luca e i suoi strani amici

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ant.py
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Re: Luca e i suoi strani amici

Messaggio da ant.py » 17 ott 2011, 22:03

Nonno Bassotto ha scritto:Per chi conosce le derivate può essere anche carino osservare che

$ (1 + x)^n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i}x^i $

e dunque, derivando,

$ n \cdot (1 + x)^{n - 1} = \sum_{i = 1}^{n} \binom{n}{i} \cdot i x^{i -1}. $

Per $ x = 1 $ si ottiene proprio $ n \cdot 2^{n - 1} = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} \cdot i. $
grande! puoi spiegare perchè funziona? :)
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Re: Luca e i suoi strani amici

Messaggio da fph » 18 ott 2011, 09:31

Cosa non ti è chiaro esattamente? La prima formula è un'identità, o se vuoi un'uguaglianza tra due modi diversi di scrivere la stessa funzione di $x$. Nella seconda riga, calcola la derivata del LHS e del RHS con le formule usuali e dice che sono uguali (se due funzioni sono uguali, hanno la stessa derivata, giusto?); anche questa è un'uguaglianza valida per tutti i valori di $x$. Nella terza sostituisce $x=1$.
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Re: Luca e i suoi strani amici

Messaggio da ant.py » 18 ott 2011, 15:16

fph ha scritto:Cosa non ti è chiaro esattamente? La prima formula è un'identità, o se vuoi un'uguaglianza tra due modi diversi di scrivere la stessa funzione di $x$. Nella seconda riga, calcola la derivata del LHS e del RHS con le formule usuali e dice che sono uguali (se due funzioni sono uguali, hanno la stessa derivata, giusto?); anche questa è un'uguaglianza valida per tutti i valori di $x$. Nella terza sostituisce $x=1$.
in effetti rileggendo è chiaro :) mi era sembrato strano perchè non avevo colto il fatto che la derivazione fa solo trovare un altra uguaglianza, essendo vera la prima, grazie! :D

già che ci siamo, puoi linkare o spiegare in due parole le regole di derivazione per la sommatoria? perchè ho visto che dopo la derivazione $j$ parte da 1, o è solo un errore di scrittura?
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Re: Luca e i suoi strani amici

Messaggio da fph » 18 ott 2011, 15:49

No, è giusto così. Il termine $i=0$ è una costante, e quindi ha derivata nulla.

La derivata di una sommatoria è semplicemente la somma delle derivate:
\[
\frac{d}{dx} \sum_{i=0}^n f_i(x) = \sum_{i=0}^n \frac{d}{dx} f_i(x).
\]
Questo deriva direttamente dalla regola per la derivata della somma ($\frac{d}{dx} (f(x)+g(x)) = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x)$, applicata un po' di volte (se vuoi formalizzare, induzione).
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Re: Luca e i suoi strani amici

Messaggio da ant.py » 18 ott 2011, 19:35

chiarissimo.. grazie :)
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