OliForum Matematico

Trovate tutte le soluzioni intere dell'equazione $y^2+y=x^4+x^3+x^2+x$

In pratica il problema equivale a trovare tutti i valori di x per cui $=x^4+x^3+x^2+x$ è il prodotto di due interi consecutivi. Ho una mezza idea che, levati i casi (0,0) (-1;0) (0;-1) (-1;-1) per i quali entrambi i membri si annullano, non vi siano soluzioni al problema... ora però non ho tempo, ci devo pensare con calma.

balossino ha scritto:In pratica il problema equivale a trovare tutti i valori di x per cui $=x^4+x^3+x^2+x$ è il prodotto di due interi consecutivi. Ho una mezza idea che, levati i casi (0,0) (-1;0) (0;-1) (-1;-1) per i quali entrambi i membri si annullano, non vi siano soluzioni al problema... ora però non ho tempo, ci devo pensare con calma.

$(2,5) $?

Mist ha scritto:Trovate tutte le soluzioni intere dell'equazione $y^2+y=x^4+x^3+x^2+x$

Così, mi viene in mente una scomposizione di RHS: $\displaystyle{x\cdot\frac{x^4-1}{x-1}=x(x+1)(x^2+1)}$
Il che significa, tra le altre cose, che una soluzione possibile è data da $x-1\mid x$ , ovvero x=2 e y=5

Se fossero primi sarebbe tutto più semplice!

Poi ci penso più sul serio dopo pranzo!

Sarà abbastanza lunga la dimostrazione
Intanto scompongo usando ruffini che male non fa, $ x(x+1)(x^{2}+1)=y(y+1) $;

Poi posso preparare i vari sistemi (mostro solo per far vedere il procedimento).

1.$ \left\{\begin{array}{lll}x^3=y+x+1\\ x+1=y-x \end{array}\right. $, 2.$ \left\{\begin{array}{lll}x^3=y-x\\ x+1=y+x+1 \end{array}\right. $, 3.$ \left\{\begin{array}{lll}x^3=1\\ x+1=(y-x)(y+x+1) \end{array}\right. $, 4. $ \left\{\begin{array}{lll}x^3=-1\\ -x-1=(y-x)(y+x+1) \end{array}\right. $, 5.$ \left\{\begin{array}{lll}x^3=-(y+x+1)\\ x+1=x-y \end{array}\right. $,
6.$ \left\{\begin{array}{lll}x^3=x-y\\ x+1=-(y+x+1) \end{array}\right. $. Più i casi banali in cui $ x=0 $.

Ad ogni modo trovo le coppie di soluzioni $ (0,0) ; (-1,-1) ; (-1,0) ; (0,-1) ; (2,5) $.
Ora procedo distinguendo tre casi.

1. Se $ y\mid x^2+1 $ allora $ x(x+1)\mid y+1 $; meglio scritta: $ {y+1\over x(x+1)}=k $, ovviamente con k intero, da cui $ y=kx^2+kx-1 $, sostituisco nella prima e trovo $ x^2(1-k^2)-k^2x+1+k=0 $; $ \Delta = k^4+4k^3+4k^2-4k-4 $, quando è un quadrato? Sicuramente quando $ 4k^3-4k-8=0 $, ma quest'ultima equazione non ammette soluzioni intere. Gli altri casi non sono analizzabili in quanto $ (k^2+2)^2 \geq 4(k^3-k-2). $

2. Se $ y\mid x+1 $ allora $ x(x^2+1)\mid y+1 $; riscrivo la seconda come $ {y+1\over x(x^2+1)}=k $, da cui $ y=kx^3+kx-1 $, sostituisco nella prima e trovo $ k^{2}x^3+x(k^2-1)-k-1=0 $, ma qua mi fermo in quanto tornerei a suddividere i casi e non so trattare le equazioni di terzo grado.

3. Esiste anche un terzo caso, se $ y\mid x $, ma è ancora più complesso dei precedenti.

Dopo questa strana analisi purtroppo non so ancora se esistono altre soluzioni. Spero comunque possa essere d'aiuto

Da dove arrivano tutti quei sistemi?

E poi quando distingui i casi, stai sbagliando, perchè nè x nè y sono primi, ovvero non puoi dire $x\mid y(y+1)\rightarrow x\mid y \ V \ x\mid y+1$

Attento io non sto ammettendo che $ a\mid b $, sto semplicemente distinguendo i casi, se a divide b allora deve verificarsi una tal cosa... I sistemi in questo tipo di esercizi non servono proprio a nulla ma gli ho scritti lo stesso ipotizzando un eguaglianza tra fattori che è verificata per le soluzioni trovate.
Tra l'altro io non ho mai scritto ciò che hai scritto tu nell'ultima riga :S

Complimenti per gli sforzi, potete farcela a risolverla, ma esiste un metodo più semplice...

Hint:
Hintone:

Ho trovato una strada ma non so se può essere utile provo:
$ x^4+x^3+x^2+x $, posso scriverla come $ (x^2+x+1)^2-x^3-2x^2-x-1 $. Meglio $ (x^2+x+1)^2-x(x+1)^2=(y+1)^2-y. $

Magari posso eguagliare i questo modo:

$ \left\{\begin{array}{lll}(x^2+x+1)^2=(y+1)^2\\ x(x+1)^2=y \end{array}\right. $
La cui equazione risolvente è :$ x^6+4x^5+5x^4+4x^3+2x^2=0 $, scomposta: $ x^2(x+1)(x^3+3x^2+2x+2)=0 $. Spero di non aver fatto errori con sti esponenti

Provo a dimostrare l'hintone in modo un po' improvvisato

$ x^2+2x =k^2 $
$ k $ sicuramente è maggiore di $ x $, perchè non ne sono certo, ma mi pare che gli interi erano non negativi xD

$ 2x = (k+x)(k-x) $
La differenza tra i due fattori è proprio $ 2x $.
Quindi siccome $ k-x $ si presume sia maggiore o uguale a 1 (a meno che non prendiamo il caso $ x=0 $), $ k+x $ è sicuramente maggiore di $ 2x $ (visto che è la differenza tra i due fattori e quello più piccolo è maggiore o uguale a 1), quindi il prodotto dei due fattori dovrebbe essere maggiore di $ 2x $.
Spero di non aver scritto baggianate, anche se ad essere sincero non mi convince del tutto xD.

Per dimostrare l'hintone basta che la pensi cosi: $ x^2+2x= x^2+2x+1-1=(x+1)^2-1=k^2 $. Gli unici quadrati che distano 1 sono$ (1,0) $, quindi non esistono x,k interi positivi.

bene, l'idea che volevo suggerirvi è quella che ha usato LeZ, che in pratica ha detto che $x^2+2x$ non può essere un quadrato perchè $x^2<x^2+2x<(x+1)^2$... Bene, ora come potete fare ad usare questa idea in relazione al primo hint che ho scritto ?
E nel penultimo posto di lez c'è un errore, perchè non puoi costruire il sistema che hai scritto (che è scritto anche sbagliato se ho capito quello che intendi)

Errore di battitura , i calcoli non dovrebbero essere influenzati da quella parentesi. Se mi dai il permesso modifico .
Ad ogni modo perchè non posso ricorrere comunque a quel sistema?

Mist ha scritto:$x^2+2x$ non può essere un quadrato perchè $x^2<x^2+2x<(x+1)^2$...

Volendo essere pignoli, questo ragionamento è valido solo se si suppone x>0. Se vogliamo tagliare la testa al toro dobbiamo dire che $x^2+2x=(x+1)^2-1$, dove il secondo membro non può essere un quadrato perfetto a meno che x=0, perché si distanzia di 1 rispetto a un quadrato perfetto.

LeZ ha scritto:Errore di battitura , i calcoli non dovrebbero essere influenzati da quella parentesi. Se mi dai il permesso modifico .
Ad ogni modo perchè non posso ricorrere comunque a quel sistema?

Lol certo che ti do il permesso santo cielo... Non puoi ricorrere a quel sistema perchè mi sembra che tu dica qualcosa del tipo: Risolvere $a(y)-b(y) = c(x)-d(x)$ è equivalente a risolvere il sistema

$\begin{matrix}\cases{a(y)=c(x) \\ b(y) = d(x)}\end{matrix}$

Ma così non è... Per esempio, prova a porre banalmente $a(y)=5$ e $b(y) = 1$ e $c(x) = 6$ e $d(x)=2$ e vedi che la cosa non funge. Infatti quel sistema per avere qualche utilità dovrebbe avere le stesse soluzioni dell'eq iniziale, mentre invece si nota facendo una verifica che te ne perdi un po', tra cui $(2,5)$, che è la prima non banale che avete ricavato...
Bon, starò risultando pedante, quindi mi eclisso e guardo un po' quel che si riesce a fare