Sistema di ricorrenze: come lo risolvo ?

[Mist]

Ciao a tutti... questa notte stavo pensando a come risolvere un problema, quando mi sono trovato davanti ad questo:

$$\begin{matrix} \cases {x_{n+1}=3x_n+10y_n \\ y_{n+1} = 5x_n +3y_n}\end{matrix}$$

e volevo chiedervi se esiste un modo per risolvere questo tipo di sistemi, un modo standard, come se ci fossero equazioni lineari... è che sarebbe la seconda volta che mi capita una cosa del genere, e magari se qualcuno mi linka una dispensa o mi improvvisa una spiegazione, mi fa un grande favore

Grazie mille anticipatamente

[fph]

Ci sono due modi:
1) Manipoli il sistema per "eliminare una variabile": in questo caso per esempio usi la prima equazione per ricavarti $y_n$ e $y_{n+1}$, (che chiaramente è la stessa cosa di $y_n$ con gli indici shiftati), poi sostituisci nella seconda che resta una ricorrenza più lunga nelle sole $x$.
2) La Vera Via: queste cose si fanno con l'algebra lineare. Istruzioni assumendo che tu sappia un po' di algebra lineare alle spalle:
* riscrivi come
$$
\begin{bmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 10 \\ 5 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}
$$
cioè
$$
\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 10 \\ 5 & 3\end{bmatrix}^n \begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}
$$
* cambi base per diagonalizzare (o piuttosto scrivere in forma di Jordan) la matrice: se non ci sono autovalori (zeri del polinomio $\det(A-xI)$) ripetuti ti viene una matrice diagonale che ha gli autovalori sulla diagonale
$$
\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}=\left(Q^{-1}\begin{bmatrix}3+5\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 3-5\sqrt{2}\end{bmatrix}Q\right)^n\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix})= Q^{-1}\begin{bmatrix}3+5\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 3-5\sqrt{2}\end{bmatrix}^n \left(Q\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}\right)
$$
Se ti basta sapere come vanno le potenze, devi solo trovare gli autovalori, altrimenti ti tocca anche determinare $Q$, che a mano è palloso.
* scrivi esplicitamente le potenze della matrice diagonale/blocchi di Jordan:
$$
\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}=Q^{-1}\begin{bmatrix}(3+5\sqrt{2})^n & 0 \\ 0 & (3-5\sqrt{2})^n\end{bmatrix} \left(Q\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}\right)
$$
Serve un po' di algebra lineare più avanzata del "risolvo i sistemi lineari con Cramer" che si fa in quarta superiore... C'è una lezione advanced fatta a quattro mani da me e da Sam al senior 2009 in cui cerchiamo di spiegare anche queste cose, probabilmente con risultati pessimi.

[fph]

Tra l'altro, versione più breve e più pratica: scrivi il sistema sotto forma di matrice come nella prima equazione che ti ho scritto (nel LHS ci devono essere gli stessi indici del RHS +1); a questo punto, puoi procedere come se $x_n$ e $y_n$ fossero termini di una "normale" ricorrenza, solo che il polinomio di cui devi trovare le radici ora è $\det(A-\lambda I)$, dove $A$ è la matrice che hai appena scritto, $I$ è l'identità, e $\lambda$ è l'incognita.

[Mist]

ehm... Ok, grazie per le risposte, sul serio, è meglio che vada a studiare le cose che hai citato, non ho capito tantissimo...

Inoltre il sistema mi è saltato fuori appunto assumendo che $(3+5\sqrt{2}) = x_n+y_n\sqrt{2}$, quindi non so quanto non faccia altro che tornare al punto di partenza col metodo dell'algebra lineare...

Grazie mille in ogni caso