Tavolo rotondo
Tavolo rotondo
Due giocatori A e B giocano su un tavolo perfettamente rotondo. Lo scopo del gioco è di posizionare a turno sul tavolo una moneta rotonda. Le monete sono tutte uguali tra loro e sul tavolo ne entra almeno una. Perde chi non trova lo spazio per posizionare la moneta al proprio turno. Se comincia A chi vince? E se i tavoli fossero 2? E se i tavoli fossero 3? (tutti uguali tra loro).
Re: Tavolo rotondo
Hint:
Testo nascosto:
Re: Tavolo rotondo
Bello, peccato che ho guardato l'hintone stupidamente e me lo son un po rovinato.. 
(Con un tavolo vince A) STRATEGIA 1: La sia prima mossa sarà mettere la moneta in centro al tavolo e poi risponderà ad ogni mossa di B con la mossa simmetrica rispetto a questo centro, che potrà sempre fare; supponiamo infatti che non possa farla, si avrebbe che dopo una mossa di A è rimasta una situazione che permette a B di posizionare una moneta in modo che la superficie simmetrica di essa sia già occupata, ma la simmetria rispetto ad un punto è una trasformazione del piano biunivoca perciò questo implicherebbe che anche prima della mossa di B il tavolo era asimmetrico, assurdo perchè dopo ogni mossa di A lui lascia una situazione simmetrica. La parità delle mosse farà vincere A.
(Con due tavoli vince B) STRATEGIA 2: Sia $ \vec C $ il vettore che congiunge il centro dei due tavoli (wlog dal centro del primo al centro del secondo); quando A mette una moneta sul tavolo 1 con centro in P, B ne mette una su P traslato di $ \vec C $ e viceversa quando A mette una moneta sul tavolo 2 con centro in P', B ne mette una su P' traslato di $ - \vec C $. La parità delle mosse farà vincere B.
In generale supponiamo che ci siano 2n+1 tavoli (quindi anche 3): vincerà A scegliendo un tavolo campione su cui giocherà la prima mossa seguendo la strategia 1 ogni volta che B giocherà su quel tavolo, e dividendo i restanti 2n tavoli in n coppie sulle quali giocherà la strategia 2.
Supponiamo che invece vi siano 2n tavoli: vincerà B dividendoli in n coppie e giocando su esse la strategia 2.
(Con un tavolo vince A) STRATEGIA 1: La sia prima mossa sarà mettere la moneta in centro al tavolo e poi risponderà ad ogni mossa di B con la mossa simmetrica rispetto a questo centro, che potrà sempre fare; supponiamo infatti che non possa farla, si avrebbe che dopo una mossa di A è rimasta una situazione che permette a B di posizionare una moneta in modo che la superficie simmetrica di essa sia già occupata, ma la simmetria rispetto ad un punto è una trasformazione del piano biunivoca perciò questo implicherebbe che anche prima della mossa di B il tavolo era asimmetrico, assurdo perchè dopo ogni mossa di A lui lascia una situazione simmetrica. La parità delle mosse farà vincere A.
(Con due tavoli vince B) STRATEGIA 2: Sia $ \vec C $ il vettore che congiunge il centro dei due tavoli (wlog dal centro del primo al centro del secondo); quando A mette una moneta sul tavolo 1 con centro in P, B ne mette una su P traslato di $ \vec C $ e viceversa quando A mette una moneta sul tavolo 2 con centro in P', B ne mette una su P' traslato di $ - \vec C $. La parità delle mosse farà vincere B.
In generale supponiamo che ci siano 2n+1 tavoli (quindi anche 3): vincerà A scegliendo un tavolo campione su cui giocherà la prima mossa seguendo la strategia 1 ogni volta che B giocherà su quel tavolo, e dividendo i restanti 2n tavoli in n coppie sulle quali giocherà la strategia 2.
Supponiamo che invece vi siano 2n tavoli: vincerà B dividendoli in n coppie e giocando su esse la strategia 2.