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Su consiglio di amatrix92 apro un nuovo topic.
Calcolare la somma di:

$ \displaystyle\sum_{n=1}^{2010}(-1)^n\displaystyle\frac{n^2+n+1}{n!} $

Quello che sono riuscito a fare è semplicemente scomporre:

$ \left(4\cdot\displaystyle\sum_{n=1}^{505} \displaystyle\frac{n^2}{(2n)!}+2\cdot \displaystyle\sum_{n=1}^{505}+\displaystyle\frac{n}{(2n)!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{505} \displaystyle\frac{1}{(2n)!}\right) $$ - $$ \left(4\cdot\displaystyle\sum_{n=0}^{504} \displaystyle\frac{n^2}{(2n+1)!}+6\cdot\displaystyle\sum_{n=0}^{504} \displaystyle\frac{n}{(2n+1)!}+3\cdot\displaystyle\sum_{n=0}^{504} \displaystyle\frac{1}{(2n+1)!}\right) $

Per $n \ge 2$ la frazione diventa $\dfrac{n(n-1)}{n!}+\dfrac{2n}{n!}+\dfrac{1}{n!}=\dfrac{1}{(n-2)!}+\dfrac{2}{(n-1)!}+\dfrac{1}{n!}$, mentre per $n=1$ manca il primo termine. Notiamo che nella sommatoria ogni frazione della forma $\dfrac{1}{i!}$ con $1 \le i \le 2008$ compare tre volte, una di esse con il coefficiente $\pm2$ e le altre due con $\mp1$, per cui si annulla: quelle rimanenti danno il risultato:
$-\dfrac{2}{0!}+\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{2009!}+\dfrac{2}{2009!}+\dfrac{1}{2010!}=\dfrac{2011}{2010!}-1$

Corretto!
Complimenti per la soluzione!