Riemann Competition (Aprile)

[LukasEta]

Ecco pronto il file con i problemi della Riemann Competition di Aprile!
Spero che i problemi vi piacciano, e che non siano troppo famosi .
Sarebbe bello questa volta partecipassero più persone, così da creare una sana competizione!

Le soluzioni inviatele a me via PM , e una volta arrivato il 15 Aprile le pubblicherò una per una su questo thread! Poi gli utenti del forum che si offriranno volontari e i partecipanti stessi si correggeranno a vicenda i problemi e si attribueranno il punteggio...

Il vincitore , se vorrà, potrà organizzare la prossima Riemann Competition!

Ecco qua il link del file con i problemi: http://www.2shared.com/document/NiHoZwH ... prile.html
Ciao e in bocca al lupo!


PS: scusate per la terribile impaginazione dei problemi, ma non avendo Acrobat non sapevo come fare di meglio :S

[amatrix92]

Interessanti . Nel 2 $ 100 \cdot n \cdot 1997 $ vuol dire $ 100 \leq n \leq 1997 $ ?

[LukasEta]

yes!

[jordan]

Tutti un po conosciuti, non trovi?

[amatrix92]

Vabè Jordan c'è da dire che tu li conosci tutti xD
Per quel che mi riguarda posso dire che ho familiarità solo con il 2 del quale avevo visto una variante.

[<enigma>]

Tutti un po conosciuti, non trovi?

Per non parlare dei problemi di marzo

[LukasEta]

Tutti un po conosciuti, non trovi?

Bè , era il mio timore d'altra parte io non mi reputo al livello di poter creare dei problemi nuovi nè sono in possesso di "fonti interessanti di problemi", quindi scusatemi! Vabè, spero che qualcuno si cimenti lo stesso così la prossima sarà organizzata da qualcuno di più adatto

[<enigma>]

Il modo migliore di porre problemi poco conosciuti è prenderli da qualche gara nazionale infognatissima (forse jordan ne sa qualcosa )... detto terra-terra, se prendi la selezione regionale del Marocco (esiste?) puoi essere quasi sicuro che nessuno l'abbia già vista.

[dario2994]

Ma che cappero dite? Io non avevo visto nessuno dei primi 5 problemi e anzi mi sono anche piaciuti

[LukasEta]

Al momento ho ricevuto solo alcune soluzioni da parte dell'utente "kalu".
Dal momento che domani scadrebbe il tempo per inviare le soluzioni, vi chiedo se qualcun altro è interessato a partecipare: in quel caso possiamo anche posticipare la scadenza di qualche giorno.

Altrimenti domani passerò il testimone a kalu Fatemi sapere!

[patatone]

a me interessa la soluzione del 2, che è l'unico per cui non ho trovato una vera e propria soluzione... diciamo che provando un po' a caso e cercando di far quadrare le cose ho trovato che n=2*11*43=946 funziona, ma sicuramente esiste una soluzione furba che a me non è venuta in mente

[LukasEta]

a me interessa la soluzione del 2, che è l'unico per cui non ho trovato una vera e propria soluzione... diciamo che provando un po' a caso e cercando di far quadrare le cose ho trovato che n=2*11*43=946 funziona, ma sicuramente esiste una soluzione furba che a me non è venuta in mente

Ti linko la soluzione in PM! 946 va bene, ma anche nella soluzione ammette che dimostrare che è l'unica è praticamente impossibile e conviene utilizzare un computer

[fraboz]

da dove l'hai preso il 2

[LukasEta]

da dove l'hai preso il 2

Olimpiadi Asiatico-Pacifiche 1997

Qua il testo: http://www.math.ca/Competitions/APMO/exam/apmo1997.html

[LukasEta]

Ecco le uniche soluzioni pervernutemi, entrambe di kalu

Testo nascosto:

NUMERO 4. Procediamo per assurdo, ammettendo che l'espressione data sia una potenza di 2. Se $ 36a+b=a+36b $, cioè se $ a=b, $ l'espressione diventa $ 372∗a2 $ che logicamente, essendo divisibile per 37, non è una potenza di 2. Altrimenti, poniamo WLOG $ 36a+b>a+36b $. Dato che il prodotto di queste due somme deve essere una potenza di 2, ciascuna di esse deve essere a sua volta una potenza di 2. Scriviamo allora $ 36a+b=2x $ e $ a+36b=2y $, in cui $ 2^x>2^y $ e quindi $ x>y $. allora $ 36a+b=(a+36b)∗2x−y $; sommando a entrambi i termini $ a+36b $ otteniamo $ a+36b=37(a+36b)/(2x−y+1) $. $ 2x−y+1 $ non può essere 37; d'altronde 37 è primo, e a+b non può essere 0 perchè se $ a=-b $ l'espressione iniziale sarebbe negativa. Ciò significa che $ a+36b $ è multiplo di 37 e che quindi lo è $ (a+36b)(36a+b) $, ma 37 non divide alcuna potenza di 2. Assurdo.

NUMERO 5. Sia$ k $ la differenza $ n-m $. Sostitendo nell'equazione$ n=k+m $ si ottiene in pochi passaggi $ m^2−6km−3k^2−k=0 $. Applicando la formula risolutiva per trovare m, al delta si ottiene $ k(12k+1) $, che quindi, essendo m intero ed essendo interi a anche gli altri termini dell'equazione risolutiva, deve essere un quadrato perfetto. essendo $ k $ e $ 12k+1 $ coprimi devono quindi entrambi essere quadrati: infatti, se i fattori primi di k non fossero tutti elevati a una potenza pari, non ci sarebbero gli stessi fattori primi in $ 12k+1 $ per poter completare i quadrati (e viceversa).

Via con la prossima!

Se qualcuno vuole una determinata soluzione di questa Riemann Competition mi scriva pure un PM