26° Gara Matematica "Città di Padova" - 4
26° Gara Matematica "Città di Padova" - 4
2011 è un numero primo. E' vero che tra gli anni dell'attuale secolo i numeri primi sono meno di 21?
Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 4
Guardando una tavola dei numeri primi, direi di sì...
Per ora sono arrivato a "dimostrare" che ci sono al più 27 numeri che possono essere primi...
Su 100 numeri, la metà sono divisibili per due; dei 50 rimanenti uno ogni 3 è multiplo di 3, ovvero sono 16; di questi 34 ce ne sono 7 multipli di 5. Quindi $ 100-(50+16+7)=27 $
Ora devo toglierne ancora 6...
Devo provare prodotti di numeri primi $p>5$...
Per tentativi, direi
$17 \cdot 11^2 = 2057$
$41 \cdot 7^2 = 2009$
$19 \cdot 107 = 2033$
$23 \cdot 89 = 2047$
$29 \cdot 71 = 2059$
$13 \cdot 157 = 2041$ (ok, lo ammetto... per questo mi sono servito di una tavola, ma me ne serviva disperatamente un'ultimo!!!)
Così ho trovato che ci sono al massimo 21 numeri primi tra 200 e 2100!
Per ora sono arrivato a "dimostrare" che ci sono al più 27 numeri che possono essere primi...
Su 100 numeri, la metà sono divisibili per due; dei 50 rimanenti uno ogni 3 è multiplo di 3, ovvero sono 16; di questi 34 ce ne sono 7 multipli di 5. Quindi $ 100-(50+16+7)=27 $
Ora devo toglierne ancora 6...
Devo provare prodotti di numeri primi $p>5$...
Per tentativi, direi
$17 \cdot 11^2 = 2057$
$41 \cdot 7^2 = 2009$
$19 \cdot 107 = 2033$
$23 \cdot 89 = 2047$
$29 \cdot 71 = 2059$
$13 \cdot 157 = 2041$ (ok, lo ammetto... per questo mi sono servito di una tavola, ma me ne serviva disperatamente un'ultimo!!!)
Così ho trovato che ci sono al massimo 21 numeri primi tra 200 e 2100!
Ultima modifica di Drago96 il 14 apr 2011, 17:40, modificato 1 volta in totale.
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 4
ne manca ancora uno!
Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 4
Lo temevo...max tre ha scritto:ne manca ancora uno!
Comunque l'ho trovato!
$23 \cdot 91 = 2093$
Ultima modifica di Drago96 il 14 apr 2011, 17:40, modificato 1 volta in totale.
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 4
ok, tralascio il mio commento su questo esercizio
(che ho miseramente cannato perché, sbagliando un conto, mi sono fermato ai multipli di 7, usando il principio di inclusion-esclusione)
comunque, mi aspettavo una soluzione ufficiale più soddisfacente di quella presentatami alle premiazioni, di cui riporto solo l'inizio:
"Per rispondere alla domanda usiamo il crivello di Eratostene: scriviamo i cento numeri, e poi eliminiamo quelli (certamente non primi) divisibili per 2, poi quelli divisibili per 3, ... per 5, ... per 7, ... per 11, ... per 13"
tra l'altro, sotto riportano i 100 numeri che va dal 2000 al 2099 anziché dal 2001 al 2100
comunque, sul serio, subito dopo la gara avevo pensato che riuscissero a dimostrare che $ \frac{2100}{\ln2100}-\frac{2001}{\ln2001} $ fosse una buona stima e che questa quantità fosse "abbastanza minore" di 20
(che ho miseramente cannato perché, sbagliando un conto, mi sono fermato ai multipli di 7, usando il principio di inclusion-esclusione)
comunque, mi aspettavo una soluzione ufficiale più soddisfacente di quella presentatami alle premiazioni, di cui riporto solo l'inizio:
"Per rispondere alla domanda usiamo il crivello di Eratostene: scriviamo i cento numeri, e poi eliminiamo quelli (certamente non primi) divisibili per 2, poi quelli divisibili per 3, ... per 5, ... per 7, ... per 11, ... per 13"
tra l'altro, sotto riportano i 100 numeri che va dal 2000 al 2099 anziché dal 2001 al 2100
comunque, sul serio, subito dopo la gara avevo pensato che riuscissero a dimostrare che $ \frac{2100}{\ln2100}-\frac{2001}{\ln2001} $ fosse una buona stima e che questa quantità fosse "abbastanza minore" di 20
Ultima modifica di max tre il 22 mag 2011, 23:35, modificato 1 volta in totale.
Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 4
Probabilmente hai scritto male perchè:
$ 23\cdot91=2093 $
$ 23\cdot91=2093 $
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 4
Drago96 ha scritto:Guardando una tavola dei numeri primi, direi di sì...
Per ora sono arrivato a "dimostrare" che ci sono al più 27 numeri che possono essere primi...
Su 100 numeri, la metà sono divisibili per due; dei 50 rimanenti uno ogni 3 è multiplo di 3, ovvero sono 16; di questi 34 ce ne sono 7 multipli di 5. Quindi $ 100-(50+16+7)=27 $
Ora devo toglierne ancora 6...
Devo provare prodotti di numeri primi $p>5$...
Per tentativi, direi
$17 \cdot 11^2 = 2057$
$41 \cdot 7^2 = 2009$
$19 \cdot 107 = 2033$
$23 \cdot 87 = 2001$
$27 \cdot 71 = 2059$
$13 \cdot 157 = 2041$ (ok, lo ammetto... per questo mi sono servito di una tavola, ma me ne serviva disperatamente un'ultimo!!!)
Mmm, scusa, ma 27*71 (non fa 2059, avrai sbagliato un calcolo) e 23*87 sono già contati nei multipli di 3
Così ho trovato che ci sono al massimo 21 numeri primi tra 200 e 2100!
Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 4
davvero è questa la soluzione ufficiale??max tre ha scritto:"Per rispondere alla domanda usiamo il crivello di Eratostene: scriviamo i cento numeri, e poi eliminiamo quelli (certamente non primi) divisibili per 2, poi quelli divisibili per 3, ... per 5, ... per 7, ... per 11, ... per 13"
È una formula di gauss, vero? L'avevo vista su un libro sui numeri primi...max tre ha scritto:comunque, sul serio, subito dopo la gara avevo pensato che riuscissero a dimostrare che $ \frac{2100}{\ln2100}-\frac{2001}{\ln2001} $ fosse una buona stima e che questa quantità fosse "abbastanza minore" di 20
E non è stato sufficiente questo? (Con la calcolatrice mi viene 11...)
@hawk: hai ragione...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 4
giuro, io ce l'ho tra le mani stampata, ma se non ti fidi tra qualche giorno esce su internet (qua: http://www.math.unipd.it/~mathesis/)Drago96 ha scritto:davvero è questa la soluzione ufficiale??max tre ha scritto:"Per rispondere alla domanda usiamo il crivello di Eratostene: scriviamo i cento numeri, e poi eliminiamo quelli (certamente non primi) divisibili per 2, poi quelli divisibili per 3, ... per 5, ... per 7, ... per 11, ... per 13"
sicuramente gauss centrava qualcosa, adesso non ricordoDrago96 ha scritto:È una formula di gauss, vero? L'avevo vista su un libro sui numeri primi...max tre ha scritto:comunque, sul serio, subito dopo la gara avevo pensato che riuscissero a dimostrare che $ \frac{2100}{\ln2100}-\frac{2001}{\ln2001} $ fosse una buona stima e che questa quantità fosse "abbastanza minore" di 20
E non è stato sufficiente questo? (Con la calcolatrice mi viene 11...)
Ci sono un po' di problemi:
1) come calcolarlo senza calcolatrice? di sicuro non si può calcolare, forse si può dimostrare che è minore di 20
2) gauss o chi per lui diceva che $ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln x}}=1 $, ovviamente non è vero che per ogni x $ \pi(x)=\frac{x}{\ln x} $, questa è solo una stima
3) $ \frac{2100}{\ln2100}-\frac{2001}{\ln2001}=11,... $, mentre di numeri primi nel 21° secolo ce ne sono 14....
Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 4
Ok, ora ho editato tutto... Mi pare che sia tutto a posto...
Certo che non avevano proprio niente da fare se si sono messi a fare il crivello sui numeri da 2000 a 2100!!!
Però non mi sembra molto giusto nei confronti dei partecipanti, che penso non abbiano avuto tutto il tempo necessario a farsi il crivello...
Per il secondo, direi che 2000 sia abbastanza grosso (difatti 11 è abbastanza vicino a 14...)
Comunque tu come hai fatto a dire che è minore di 20?
Mi fido, mi fido...max tre ha scritto:giuro, io ce l'ho tra le mani stampata, ma se non ti fidi tra qualche giorno esce su internet (qua: http://www.math.unipd.it/~mathesis/)Drago96 ha scritto:davvero è questa la soluzione ufficiale??max tre ha scritto:"Per rispondere alla domanda usiamo il crivello di Eratostene: scriviamo i cento numeri, e poi eliminiamo quelli (certamente non primi) divisibili per 2, poi quelli divisibili per 3, ... per 5, ... per 7, ... per 11, ... per 13"
Certo che non avevano proprio niente da fare se si sono messi a fare il crivello sui numeri da 2000 a 2100!!!
Però non mi sembra molto giusto nei confronti dei partecipanti, che penso non abbiano avuto tutto il tempo necessario a farsi il crivello...
Penso che il problema più grosso sia il primo...max tre ha scritto:sicuramente gauss centrava qualcosa, adesso non ricordo
Ci sono un po' di problemi:
1) come calcolarlo senza calcolatrice? di sicuro non si può calcolare, forse si può dimostrare che è minore di 20
2) gauss o chi per lui diceva che $ lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln x}}=1 $, ovviamente non è vero che per ogni x $ \pi(x)=\frac{x}{\ln x} $, questa è solo una stima
3) $ \frac{2100}{\ln2100}-\frac{2001}{\ln2001}=11,... $, mentre di numeri primi nel 21° secolo ce ne sono 14....
Per il secondo, direi che 2000 sia abbastanza grosso (difatti 11 è abbastanza vicino a 14...)
Comunque tu come hai fatto a dire che è minore di 20?
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: 26° Gara Matematica "Città di Padova" - 4
non l'ho fatto... (cioè, non l'ho fatto usando 'sta roba di gauss)
avevo iniziato col principio di inclusione-esclusione sui numeri dispari: mi ero trovato i multipli di 3, 5 e 7, poi quelli di 15, 21, 35 e 105
sottraendo a 50 i primi 3 e sommando gli altri 4 mi veniva 19, quindi, visto che bisognava togliere anche i multipli di 11 e 13 direi che ho sbagliato i conti, come al solito...
comunque anche il secondo non è un problema da poco (tra l'altro la differenza tra $ \pi(x) $ e $ \frac{x}{\ln x} $ aumenta con l'aumentare di x...)
per quanto riguarda il tempo, erano 8 problemi in 2 ore e ho sbagliato a farmi la brutta copia su esercizi banali come l'1, dove bastava farsi un'abbozzo; perché l'ultimo problema ho fatto solo in tempo a leggerlo (comunque geometria solida non mi piace, quindi non so quanto ci avrei guadagnato)
avevo iniziato col principio di inclusione-esclusione sui numeri dispari: mi ero trovato i multipli di 3, 5 e 7, poi quelli di 15, 21, 35 e 105
sottraendo a 50 i primi 3 e sommando gli altri 4 mi veniva 19, quindi, visto che bisognava togliere anche i multipli di 11 e 13 direi che ho sbagliato i conti, come al solito...
comunque anche il secondo non è un problema da poco (tra l'altro la differenza tra $ \pi(x) $ e $ \frac{x}{\ln x} $ aumenta con l'aumentare di x...)
per quanto riguarda il tempo, erano 8 problemi in 2 ore e ho sbagliato a farmi la brutta copia su esercizi banali come l'1, dove bastava farsi un'abbozzo; perché l'ultimo problema ho fatto solo in tempo a leggerlo (comunque geometria solida non mi piace, quindi non so quanto ci avrei guadagnato)