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Nel mio libro, trattando della semplificazione dei radicali, dice che $\sqrt[n]{a^n}=|a|$, con n pari, perchè non vale $\pm a?$ Fa anche l'esempio $\sqrt{2^2}=2$ e non $\pm2$, perchè?

per definizione, la radice quadrata di un numero è il numero positivo che al quadrato fa quel numero. Se così non fosse avremmo l'uguaglianza 2 = -2

Ma se a= -2, -2 alla seconda diventa 4, che è un numero positivo. Cosa ne pensi/ate?

Mike ha scritto:per definizione, la radice quadrata di un numero è il numero positivo che al quadrato fa quel numero. Se così non fosse avremmo l'uguaglianza 2 = -2

E' vero che si pone per definizione che il risultato della radice quadrata (e di qualunque altra radice avente indice pari) sia positivo (o nullo!), ma non avremmo l'uguaglianza 2 = -2: avremmo un'operazione che non ha un risultato univoco. Notate che siamo abituati a scrivere che le soluzioni di un'equazione di secondo grado contengono una radice preceduta da un $ \pm $ il che significa implicitamente che la radice quadrata è unica.

Olivo, questa questione qui in glossario e' gia' stata ampiamente trattata
fai una ricerca e avrai tutte le risposte

Scusate l'intromissione, ma non c'è scritto il modulo di a? CIoè che |a|=|-a| ?

Mi inserisco nella discussione per esporre una considerazione sul tema, ma che va ancora oltre e che a mio parere è molto sorprendente.
L'espressione √((-3)^2), applicando le regole universalmente riconosciute dell'aritmetica (che prevedono di calcolare prima il risultato del radicando ed effettuare poi l'estrazione di radice), e quindi a detta di tutti, fornirebbe:
√9=3 o (+-)3.
Io affermo invece che il SOLO, UNICO ed ESATTO risultato è "- 3".
Infatti:
√((-3)^2)=((-3)^2))^(1/2)=(-3)^(2*(1/2))=(-3)^1=-3!!!
Sorprendente, vero!?
E questa non è filosofia matematica, pensiamo ad esempio alle ricadute in matematica applicata!!!

Taccio sull'evidente necrofilia...
L'espressione che hai scritto tu sarebbe una dimostrazione dell'uguaglianza [math]3=-3. Per evitare questa contraddizione le proprietà delle potenze valgono solo quando la base è un numero positivo.