OliForum Matematico

Sia $ z \in \mathbb C $. Dimostrare che:

$ z \in \mathbb R $ se e solo se $ z^{15}, z^{221} \in \mathbb R $

Be', è facile.

ma 221=15*14+11

io userei che $z=r\cdot e^{i\theta}$ e il fatto che $(221,15)=1$

Fantastico, non so più fare le moltiplicazioni. Be', basta proseguire, credo. $z^{11}$ è reale, quindi anche $\frac{z^{15}}{z^{11}} = z^4$, quindi anche $\frac{z^{11}}{{z^{4}}^2} = z^3$ e quindi anche $z$... Vado a nascondermi per la figuraccia, intanto.

EDIT: Meglio ancora, dal fatto che sono coprimi, allora esistono m, n, tali che 221m - 15n = 1, quindi
$$\frac{z^{221m}}{z^{15n}} = z ∈ R$$

Se non sbaglio sasha non ha dimostrato il se e solo se...

beh non penso che la freccia "z reale => potenze di z reali" sia da dimostrare...

INfatti nel problema la freccia è al contrario
Edit: scusate avevo capito male ciò che ha fatto sasha.