teoria (e esercizi) dei numeri

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

salve salvino a tutti,
 leggendo qualcosa sul Courrant-Robbins (si scriverà cosi??), ho notato che a pag. 587 viene presentato un polinomio (di 25° grado e 26 incognite) che produce primi...Quello che non capisco però è perchè dovrebbe essere così importante, dato che i due fattori in cui è scomposto devono essere l\'uno primo e l\'altro uguale a 1.A questo punto, non si ottiene una banalità?cioè, tale polinomio è primo sse lo è k+2 e il valore che tale polinomio assume dev\'essere proprio k+2...boh!
 se qualcuno può darmi qualche delucidazione è ben accetto.
 
 ps:siccome l\'argomento del forum è \'proponi gli esercizi\' ne approfitto anche per riproporre un problema posto da Alberto qualche tempo fa...
 determinare per quali velori di a, b, p è verificata l\'equazione:
 19^a - 2^a=p^b
 con a,b interi positivi e p primo

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

Non era stato risolto?
 
 17|19^a-2^a
 17|p^b
 p=17
 19^a-2^a=17^b
 
 a=2^n*(2k+1)
 19^2^n-2^2^n|19^a-2^a
 
 21|19^2-2^2
 19^2^(n+1)-2^2^(n+1)=(19^2^n+2^2^n)(19^2^n-19^2^n)
 21|19^2^n-2^2^n ---> 21|19^2^(n+1)-2^2^(n+1)
 per induzione, 21|19^n-2^n per ogni n >= 1
 per a pari, 21|19^a-2^a=17^b, assurdo
 
 a dispari
 19==-1 (4) ---> 19^a==-1 (4)
 2^1==2 (4), 2^a==0 (4) per a > 1
 17^b==1^b==1 (4)
 a=1
 b=1

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

no, completamente non era stato risolto.
 comunque anch\'io ho trovato più o meno la stessa soluzione, anche se nel caso di a=2c(cioè pari) ho considerato semplicemente che
 19^2c - 2^2c= (19^c - 2^c)(19^c + 2^c) ma 19^c + 2^c non è divisibile per 17 in quanto 19^c + 2^c==2^(c+1) mod 17

daniele · Messaggio da **daniele** » 01 gen 1970, 01:33

«tale polinomio è primo se lo è k+2 [E SE L\'ALTRO E\' 1] e il valore che tale polinomio assume dev\'essere proprio k+2...boh! » sì, ma non tutti i k+2: solo i k+2 con k tale che la seconda diventa 1 (se noti k appare anche nel secondo fattore). Probabilmente per certi k (ad esempio 7) la seconda non si riduce ad 1, perciò k+2 non è primo.
 Chiedo conferma
 ciao
 daniele

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

se non sbaglio tutti e soli i valori positivi del polinomio sono i primi... cioè per k=7 dovrebbe venire negativo

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

ok, ma il punto è che non capisco la scoperta, cioè:
 non è come dire che il polinomio:
 p
 da valori primi se e solo se p è primo?

Mef · Messaggio da **Mef** » 01 gen 1970, 01:33

No, perchè se P è positivo, allora il valore assunto da P è primo.
 Tu invece proponi un polinomio che per alcuni valori è positivo, ma non primo. (p=4, ad esempio)