OliForum Matematico

Non so dove postarlo, lo metto qui visto che è l'unico esercizio diverso dai soliti esercizietti contosi che mi
è stato dato in una verifica in 4 anni (e, visto che c'è stato un solo risolutore, mi sa che sarà anche l'ultimo):
Spiegare perché $ |\sin x|+|\cos x|\geqslant 1 $
(penso ci sia più di un modo per farla, vediamo cosa salta fuori)
(e perdonate se non è prettamente olimpico; anzi, forse neanche un po'...)

max tre ha scritto:Non so dove postarlo, lo metto qui visto che è l'unico esercizio diverso dai soliti esercizietti contosi che mi
è stato dato in una verifica in 4 anni (e, visto che c'è stato un solo risolutore, mi sa che sarà anche l'ultimo):
Spiegare perché $ |\sin x|+|\cos x|\geqslant 1 $
(penso ci sia più di un modo per farla, vediamo cosa salta fuori)
(e perdonate se non è prettamente olimpico; anzi, forse neanche un po'...)

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Vale $ $\sin x\le1$ $, quindi $ $\sin^2x\le\sin x$ $, idem per coseno. $ |\sin x| + | \cos x| \ge \sin x+\cos x \ge \sin^2 x+\cos^2 x=1$ $

giusto?

|cos(x)| e |sin(x)| sono le lunghezze dei cateti di un triangolo rettangolo con ipotenusa lunga 1, la tesi segue dalla disuguaglianza triangolare.

Zorro_93 ha scritto: [...] quindi $ $\sin^2x\le\sin x$ $ [...] giusto?

Se anziché sin scrivi |sin| sì
Comunque, io l'avevo fatto come taifu

max tre ha scritto: Comunque, io l'avevo fatto come taifu

Molto più elegante in effetti

Zorro_93 ha scritto:$ $\sin^2x\le\sin x$ $

santa madonna

Il seno non è esattamente una funzione positiva...

Per la serie "soluzione più brutta":
wlog $ x\in \mathbb{R}\cap [0,\frac{\pi}{2}] $ allora $ \sin(x)+\cos(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ge 1 $. []

che e' falso. intendevi dire questo, giusto?

è più o meno quello che hanno fatto gli altri:
$(|\sin x|+ |\cos x|)^2\geq 1^2$ da cui $\sin^2x+\cos^2x+2|\cos x||\sin x|=1+2|\sin x||\cos x|\geq 1$