OliForum Matematico

(Da kvant)
Dimostrate che le seguenti espressioni con M qalunque non sono dei quadrati perfetti.
A)$ 4^M + 5 $
B)$ 8^M + 9 $
C)$ A^M + A + 1 $(con A intero e non divisibile per 8 )


N.B.
Define:"quadrato perfetto"
Un quadrato perfeo è un numero che ha la radice quadrata intera.
Es. 16 é un quadrato perfetto perché $ 16=4^2=-(4^2) $
Invece 2 non é un quadrato perfetto perchè la sua radice non è intera.

karlosson_sul_tetto ha scritto: Es. 16 è un quadrato perfetto perché $ 16=\sqrt{4}=\sqrt{-4} $

Urge edit!

A) Considero $ M\in\mathbb{N} $
$ x^2\equiv 0,1,4(mod8) $
$ 4^0\equiv1 \rightarrow 4^0+5\equiv6 $, impossibile
$ 4^1\equiv4 \rightarrow 4^1+5\equiv1 $, possible
$ 4^2\equiv4^3\equiv4^4\equiv...\equiv0 \rightarrow 4^M (con M\geqslant 2)+5\equiv5 $, impossibile
L'unico caso possibile è M=1, quindi mi basta controllare questo
$ 4^1+5=9 $, che è un quadrato perfetto...
Quindi per l'A c'è un valore di M che dà un quadrato, M=1

mmm....

Premetto di aver risolto ( forse) solo parzialmente, e anche in modo secondo me rozzo, quindi dite voi se ciò che ho fatto io sarebbe servito qualcosa...

Apparte il fatto che per $ M=1 $, a prima vista, si vede che esistono infiniti$ A $ tali che $ A^M +A +1 $ sia un quadrato perfetto ( dispari )...

Comunque, vedo se ciò che ho fatto fin'ora secondo voi serve, sono solo un principiante con la minima dimistichezza di teoria dei numeri...

Allora, noto innanzitutto che $ A^M +A +1 $ è sempre dispari. Procedo ora per assurdo, supponendo che $ A^M +A +1 = (2m +1)^2 $...
ne consegue che $ A(A^{M-1} +1) = 4m(m+1) $ e che quindi
$ A^{M-1} +1 = \frac{4m(m+1)}{A} $... A questo punto è sufficente che io dimostri che $ A $ non divide mai $ 4m(m+1) $ e ho finito...
Suppongo quindi per asssurdo che $ m= Ax $ dove
$ x\in\mathbb{N} $ ( m e A appartengono ad N per ipotesi, sia ben chiaro...)
si ha : $ A^M +A+1 = (2Ax +1)^2 $ da cui
$ 4Ax^2 +4x -A^{M-1} -A = 0 $. Risolvendo in x si ha che
$ x_(1,2) = \frac{ -4\pm4\sqrt{A^{M} +A^2 +1}}{8A} $. A questo punto mi pè sufficente determinare se e quando x è intero... Affinche ciò accada... Non lo so .

Che dite, fin qui va bene ? devo fare pratica...

p.s. interessante. Dimostrando le espressioni di karlosson_sul_tetto, si dimostra anche che
$ \sum_{i=1}^m \ne \frac{A^M+A}{8} $ per ogni $ (A,M)\in\mathbb{N}^2 $... non so quanto possiate considerare la cosa curiosa.... bah

EDIT: max tre, mi hai preceduto e hai fatto meglio di me... comunque alla fine senza neanche farlo apposta avevo dimostrato anche io !!!

Karlosson ha aggiunto infatti che a non doveva essere divisibile per 8... tornando qua $ A^{M-1} +1 = \frac{4m(m+1)}{A} $ la faccio diventare
$ \frac{A^M +A}{8} = \frac{m(m+1}{2} $. siccome A NON è divisibile per otto per ipoetsi, si ha che quell'uguaglianza è falsa. si ha l'assurdo e quindi la proposizione iniziale è dimostrata ! Giusto ???[/quote]

Io ho capito che sono 3 problemi separati...
Io spero di aver risolto il 1°, tu dovresti aver risolto il 3°, dove per altro avevo trovato un po' di soluzioni, tipo (A,M)= (2,0), (4,1), (7,0)

Hai ragione, non me ne ero nemmeno accorto Comunque risolvere il tre corrisponde a risolvere gli altri due... aspettiamo la conferma di uno più esperto, magari la mia dimostrazione è sbagliata...

minima.distanza ha scritto:Comunque risolvere il tre corrisponde a risolvere gli altri due...

Il C) è la generalizzazione dell'A), ma non del secondo, dove A=8, che è divisibile per 8.
Visto che tu hai usato il fatto che A non è divisibile per 8 come ipotesi, non penso che il B) sia risolto

ndp15 ha scritto:

karlosson_sul_tetto ha scritto: Es. 16 è un quadrato perfetto perché $ 16=\sqrt{4}=\sqrt{-4} $

Urge edit!

Mi scuso, ma nella fretta di scrivere non tengo conto degli accenti!
Adesso lo riaggiusto...

Quindi lo provo
$ 8^M+9=x^2 $
$ x^2-9=8^M $
$ (x+3)(x-3)=8^M $
Quindi x è dispari $ \rightarrow x=2y+1 $
$ (2y+4)(2y-2)=8^M $
$ 4(y+2)(y-1)=8^M $
$ (y+2)(y-1)=2^{3M-2} $
Ma uno tra $ (y+2),(y-1) $ è dispari, quindi la parte a sinistra non può essere potenza di 2

Un attimo
Non ho considerato che magari uno tra $ (y+2), (y-1) $ può essere 1 e l'altro una potenza di 2
Allora, se $ y+2=1 \rightarrow y=-1 $
$ (y+2)(y-1)=-2=2^3^{M-2} $ impossibile
Se $ y-1=1 \rightarrow y=2 $
$ (y+2)(y-1)=4=2^{3M-2} $
Quindi $ 3M-2=2 \rightarrow M=\frac{4}{3} $
che non è accettabile

karlosson_sul_tetto ha scritto:

ndp15 ha scritto:

karlosson_sul_tetto ha scritto: Es. 16 è un quadrato perfetto perché $ 16=\sqrt{4}=\sqrt{-4} $

Urge edit!

Mi scuso, ma nella fretta di scrivere non tengo conto degli accenti!
Adesso lo riaggiusto...

No, credo che il problema non fosse l'accento ... 16 non è la radice di 4, né, tantomeno, la radice di -4 (che sarebbe immaginaria). Forse volevi dire
$ 16=(4)^2=(-4)^2 $.

Figo il c)
Comunque la dimostrazione minima.distanza è sbagliata... quando dici:

Suppongo quindi per asssurdo che m= Ax

Non stai considerando tutti i casi... e se A|m+1 e se A|4m e se A non divide ne m, m+1 ma il loro prodotto si? Poi alcuni passaggi logici (dell'edit) non si sa da dove escono...

Ecco la mia:
Esiste una famiglia di soluzioni comunque... A=-1 e m pari...
Prima di tutto cambio A con x che mi trovo meglio e m con n per lo stesso motivo, devo mostrare che:
$ $x^n+x+1=y^2 $***
non ha soluzione se $ $8\not|x $.
Assumo per assurdo esistano x,y,n che soddisfano e divido in casi in base alla parità di n:


Se n è pari pongo n=2m. Sicuramente $ $|x|>0 $ dato che $ $8\not|x $.
Quindi vale ovviamente $ $|2x^m|>|x| $, da questo ottengo che $ $x^{2m}+x+1 $ è compreso strettamente tra $ $x^{2m}+2x^m+1; x^{2m}-2x^m+1 $. Da questo applicando *** ottengo che l'unico valore che y^2 può assumere essendo un quadrato (l'ho appena chiuso tra 2 quadrati di distanza 1) è $ $x^2m $. Allora applicando *** ottengo:
$ $x^{2m}+1=x^{2m}+x+1\Rightarrow x=-1 $
Quindi (x,y,n)=(-1,1,2m) è soluzione.

Se n + dispari allora vale:
$ $x+1|x^n+1 $ *
Ora sottraggo ad entrambi i membri di *** x: $ $x^n+1|y^2-x $
Applicando * ottengo perciò $ $x+1|y^2-x\Rightarrow x+1|y^2+1 $
Ma x+1 divide una somma di quadrati, perciò per lemma noto ha solo fattori primi congrui a $ $1\pmod{4} $, da cui è esso stesso congruo a $ $1\pmod{4} $. Quindi $ $x\equiv 0\pmod{4} $, ma 8 non lo divide perciò esiste z dispari tale che $ $4z=x $. Sostituisco questo in *** e analizzo modulo 8:
$ 5 \equiv 0+4+1\equiv 4^nz^n+4z+1\equiv y^2\pmod{8} $
Ma questo è assurdo perchè 5 non è un residuo quadratico modulo 8.

Ma la terna $ (x,y,n)=(k^2-2,k^2,0) $ non è sempre soluzione?
Anche se in effetti non vale $ |2x^m|>|x| $
e $ (x,y,n)=(4,3,1) $?

Ho escluso involontariamente i casi n=0,1... n=0 è ovvio e n=1 anche... ottengo le famiglie di soluzioni:
$ $(-1,\pm 1,2a);\ (a^2-2,\pm a,0)\ (2a^2+2a,\pm(2a+1),1) $

@max tre: suppongo che le ipotesi dovrebbero essere $ \displaystyle~A>0 $ e $ \displaystyle~M\ge 2 $ interi..
completo quello che ha detto dario: se x e n sono dispari lo è anche y, quindi analizzando modulo 4: $ \displaystyle~x^n+x+1\equiv 1\pmod 4 $. Ma $ \displaystyle~x^n+x+1\equiv x\cdot x^{n-1}+x+1\equiv 2x+1\equiv 2+1\equiv 3\pmod 4 $ (visto che n-1 è pari), assurdo.