7p+3^p-4=x^2

[EvaristeG]

danielf, credo che pic88 voglia semplicemente riscrivere la prima parte della soluzione di gismondo senza appellarsi alla reciprocità quadratica:

vediamo..allora modulo p:
$ 0+3-4=x^2 $ per il piccolo teorema di fermat...
dalla legge di reciprocità quadratica $ x^2=-1 $ ha soluzioni se e solo se p=4k+1...quindi

$ 7(4k+1)+3^{4k+1}-4=x^2 $
quindi modulo 4:$ 3(1)+3^1-0=0,1 $ che sembra assurdo
a-risbaglio?

Ora, pic88 osserva che
$ (7p+3^p-4)+1=7p+(3^p-3) $
e per il piccolo teorema di Fermat $ 3^p\equiv 3\mod p $ per ogni primo p, quindi quell'espressione è 0 modulo p.
Ora, segue che, se per assurdo l'espressione è un quadrato,
$ m^2=(7p+3^p-4)\equiv-1\mod p $ e dunque $ m^4\equiv 1\mod p $, da cui $ \mathrm{ord}_p(m)=4 $, ma $ \mathrm{ord}_p(m)|p-1 $ e dunque $ p=4k+1 $.

[danielf]

capito!grazie