Funzione polinomiale grado 2002

[Euler]

Ho trovato questo problema:
trovare il minimo assoluto di
$ | 2003+2002x+2001x^2+...+2x^{2001}+x^{2002}| $per x reale
Ho scoperto che il risultato è per x=-1, quindi 1002, che è anche la risposta esatta, ma non ho idea di come risolverlo senza andare a tentativi...all' inizio ho pensato alle derivate, ma sarebbe una cosa mostruosa praticamente impossibile (2003 termini da derivare e poi risolvere un equazione a 2002 coefficienti...!). Conoscete qualche teorema?

[Maioc92]

$ \displaystyle P(x)=\sum_{i=1}^{1001}i(x^{2004-2i}+x^{2002-2i})+\sum_{i=1}^{1001}2ix^{2003-2i}+1002 $
Applicando AM-GM ad ogni termine della prima sommatoria si ha che:
$ \displaystyle\sum_{i=1}^{1001}i(x^{2004-2i}+x^{2002-2i})+\sum_{i=1}^{1001}2ix^{2003-2i}\ge \sum_{i=1}^{1001}2i|x|^{2003-2i}+\sum_{i=1}^{1001}2ix^{2003-2i}\ge 0 $
Quindi $ P(x)\ge 1002 $, e l'uguaglianza vale solo per $ x=-1 $

[Euler]

Mi puoi spiegare bene cos'è l'AM-GM?

[Spammowarrior]

sta per geometric mean - arithmetic mean: in pratica la media geometrica è sempre minore o uguale della media aritmetica (l'uguale vale solo se tutti i fattori sono uguali tra loro)

in questo caso lui sfrutta il fatto che

$ \displaystyle \frac {x^{2004 - 2i} + x^{2002-2i} }{2} \geq \sqrt {x^{2004 - 2i}x^{2002-2i}} $
$ \displaystyle x^{2004 - 2i} + x^{2002-2i} \geq 2x^{2003 - 2i} $

e quindi li sostituisce in ogni addendo della diseguaglianza

[Euler]

Grazie lo sapevo già ma non sapevo come si chiamava

[rargh]

$ \displaystyle P(x)=\sum_{i=1}^{1001}i(x^{2004-2i}+x^{2002-2i})+\sum_{i=1}^{1001}2ix^{2003-2i}+1002 $
Applicando AM-GM ad ogni termine della prima sommatoria si ha che:
$ \displaystyle\sum_{i=1}^{1001}i(x^{2004-2i}+x^{2002-2i})+\sum_{i=1}^{1001}2ix^{2003-2i}\ge \sum_{i=1}^{1001}2i|x|^{2003-2i}+\sum_{i=1}^{1001}2ix^{2003-2i}\ge 0 $
Quindi $ P(x)\ge 1002 $, e l'uguaglianza vale solo per $ x=-1 $

Ok tutto chiaro ma come ti è venuto in mente di esprimerla così?