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Trovare tutti i primi p e q tali che $ p^2-2q^2=1 $

$ (p+1)(p-1)=2q^2 $
2 casi sono equivalenti:

$ p-1=q p+1=2q $

$ p-1=2 p+1=q^2 $

Soluzione p=3 q=2

analizzando mod 4 abbiamo che se entrambi i primi sono uguali a 2 l'equazione non è verificata:

$ 0-2\cdot 0 \equiv 1 (mod 4) $
quindi almeno uno dei due è diverso da 2

se sono tutti e due diversi da due abbiamo:

$ 1-2 \equiv 1 (mod 4) $ evidentemente falsa.

quindi i casi sono 2:
$ p=2,q \neq 2 $ ma mod 4 è impossibile...
quindi abbiamo che $ q=2 $ e p è un altro primo diverso da 2.

dunque abbiamo:
$ p^2-2\cdot 2^2=1 \\ p^2=9\\ p=3 $

dunque l'unica soluzione è $ (p,q) =(3,2) $

$ (p-1)(p+1)=2q^2 $
poniamo $ p=2 $:
$ 3=2q^2 $ impossibile
poniamo $ q=2 $
$ (p-1)(p+1)=8 $
da cui $ p=3 $
Quindi ora p e q diversi da 2
$ (p-1)(p+1) $ è divisibile per 4, ma 2q^2 non lo è, dato che q è un primo diverso da 2.

ne propongo un altra:
- prendo p,q >3. allora $ p^2 \equiv 1 (mod 3); 2q^2 \equiv 2 (mod 3) $ sottraggo e mi viene $ 1 \equiv 2 (mod3) $ chiaramente impossibile.
- poichè deve essere p>q. mi rimangono da anlizzare solo due casi:
$ q=2; p^2 = 9 $ da cui la coppia (p,q)=(3,2)
$ q=3; p^2 = 19 $ chiaramente per nessun primo
giusta?

cromat ha scritto:ne propongo un altra:
- prendo p,q >3. allora $ p^2 \equiv 1 (mod 3); 2q^2 \equiv 2 (mod 3) $ sottraggo e mi viene $ 1 \equiv 2 (mod3) $ chiaramente impossibile.
- poichè deve essere p>q. mi rimangono da anlizzare solo due casi:
$ q=2; p^2 = 9 $ da cui la coppia (p,q)=(3,2)
$ q=3; p^2 = 19 $ chiaramente per nessun primo
giusta?

Penso vada proprio bene, mooolto concisa.

Anzi, forse forse, qua postala così che ti capiamo e ti prendiamo in buona fede, in gara magari per sicurezza spendi 1 riga in più a dire perchè $ p^2 \equiv 1 (mod 3); 2q^2 \equiv 2 (mod 3) $ e perchè p>q.

E' ovvio, ma intanto sei sicuro di non perdere punti a caso...

sisi certo...il problema spesso è sul come scrivo la dimostrazione che mi fa perdere punti