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numeri debolmente crescenti
Inviato: 18 feb 2010, 16:46
da gibo92
Un intero positivo si dice debolmente crescente se le sue cifre (in base 10), lette da sinistra verso destra, formano una successione debolmente crescente. Ad esempio, 13377 e 13568 sono numeri debolmente crescenti, mentre 10345 e 15466 non lo sono.
Determinare quanti sono i numeri debolmente crescenti di 5 cifre (si intende che la cifra più a sinistra non può essere 0).
è un problema dello stage senior 2008 di cui non capisco la soluzione
Inviato: 18 feb 2010, 17:38
da amatrix92
la butto lì: $ 5^5 $ anche se credo prorpio che da questi bisogna togliere qualcosa, però sinceramente non so calcolarvi cosa, nel senso che al primo posto posso certmente mettere 5 numeri: 1, 2 ,3 ,4 ,5; non posso mettere 6 perchè altrimenti nel migliore dei casi avrei 6789# e poi all'ultima cifra? quindi poi alla seconda cifra analogamente posso mettere 5 numeri ovvero (5+1-1) uno lo guadagno e uno lo perdo posso quindi mettere: 2,3,4,5,6; questo fino alla quinta cifra dove potrò mettere 5,6,7,8,9. sembrerebbe filare tutto lisco però non so perchè c'è qualcosa che non mi convince...
Inviato: 18 feb 2010, 17:57
da Rosinaldo
amatrix92 ha scritto:la butto lì: $ 5^5 $ anche se credo prorpio che da questi bisogna togliere qualcosa, però sinceramente non so calcolarvi cosa, nel senso che al primo posto posso certmente mettere 5 numeri: 1, 2 ,3 ,4 ,5; non posso mettere 6 perchè altrimenti nel migliore dei casi avrei 6789# e poi all'ultima cifra? quindi poi alla seconda cifra analogamente posso mettere 5 numeri ovvero (5+1-1) uno lo guadagno e uno lo perdo posso quindi mettere: 2,3,4,5,6; questo fino alla quinta cifra dove potrò mettere 5,6,7,8,9. sembrerebbe filare tutto lisco però non so perchè c'è qualcosa che non mi convince...
Credo tu stia sbagliano 69999 va bene e anche 66666...o sbaglio io?
Inviato: 18 feb 2010, 19:19
da Iuppiter
Provo.
Dobbiamo scegliere 5 numeri tali che:
$ 1\leq a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq a_5\leq 9 $
e se chiamiamo:
$ b_1=a_1; b_2=a_2+1; b_3=a_3+2; b_4=a_4+3; b_5=a_5+4 $
abbiamo che: $ 0<b_1<b_2<b_3<b_4<b_5<14 $
Consideriamo le partizioni in 5 elementi del numero 14, con elementi tutti diversi da 0 (perchè nei numeri che cerchiamo non ci sono zeri): in qualunque modo io scelga di fare una partizione, posso ordinare i numeri in ordine crescente in un solo modo.
Quindi il numero dei numeri che soddisfano le condizioni iniziali è uguale al numero di modi di ripartire 14 elementi in 5 gruppi non nulli.
I modi di ripartire 14 elementi in questo modo, se non ricordo male, dovrebbe essere $ \displaystyle \binom{14-1}{5-1}=\binom{13}{4} = 715 $ modi
Dai spero di aver azzeccato almeno l'idea di fondo...
Inviato: 18 feb 2010, 20:11
da amatrix92
Rosinaldo ha scritto:amatrix92 ha scritto:la butto lì: $ 5^5 $ anche se credo prorpio che da questi bisogna togliere qualcosa, però sinceramente non so calcolarvi cosa, nel senso che al primo posto posso certmente mettere 5 numeri: 1, 2 ,3 ,4 ,5; non posso mettere 6 perchè altrimenti nel migliore dei casi avrei 6789# e poi all'ultima cifra? quindi poi alla seconda cifra analogamente posso mettere 5 numeri ovvero (5+1-1) uno lo guadagno e uno lo perdo posso quindi mettere: 2,3,4,5,6; questo fino alla quinta cifra dove potrò mettere 5,6,7,8,9. sembrerebbe filare tutto lisco però non so perchè c'è qualcosa che non mi convince...
Credo tu stia sbagliano 69999 va bene e anche 66666...o sbaglio io?
sì, hai ragione te scusa, ho letto male il testo
Iuppiter ha scritto:
I modi di ripartire 14 elementi in questo modo, se non ricordo male, dovrebbe essere $ \displaystyle \binom{14-1}{5-1}=\binom{13}{4} = 715 $ modi
Io ho sbaglaito i conti perchè non ho considerato le cifre uguali, però così facendo ho soltanto escluso soluzioni e già comunque me ne venivano 3125, quindi immagino che 715 siano un po' pochine..
EDIT: mi rendo conto che ciò andrà contra l'affermazione precedente ma ho trovato come soluzione 1287 modi come somma di 495+330+210+126+70+35+15+5+1, che sono le varie possibilità (non so se giuste) mettendo come prima cifra 9-->1, 8--->5, 7--->15,6---> 35 etc.
Inviato: 15 mar 2010, 18:39
da cromat
Iuppiter ha scritto:
I modi di ripartire 14 elementi in questo modo, se non ricordo male, dovrebbe essere $ \displaystyle \binom{14-1}{5-1}=\binom{13}{4} = 715 $ modi
questa è la formula per capire in quanti modi posso scrivere 14 come somma di 5 elementi... ma qui non viene posta questa condizione
Io ho impostato cosi:
devo contare il numero delle possibili cinquine senza tener conto dell'ordine (x es. 12345, 54231, 34521 etc... li conto li conto una volta sola); ciò perchè per ogni cinquina cosi contata avrà una sola permutazione di questa che sia in ordine debolmente crescente (nell'es. di prima è 12345).
- non conto le cinquine che contengono lo zero perchè la permutazione affinchè sia in ordine debolmente crescente inizia per 0 e non va bene
E adesso un po di semplici calcoli:
- utilizzando una sola cifra (es.11111) ho 9 cinquine
- utilizzando due cifre trovo due sottocasi:
*(es.11112) dove ho 9*8=72 cinquine
*(es.11122) dove ho 9*8=72 cinquine
- utilizzando 3 cifre trovo due sottocasi:
*(es.11223) dove ho $ 9{\binom{8}{2}}= 252 $ cinquine
*(es.11123) dove ho $ 9{\binom{8}{2}}= 252 $ cinquine
- utilizzando quattro cifre (es.11234): $ 9{\binom{8}{3}}= 504 $ cinquine
- utilizzando cinque cifre (es.12345): $ {\binom{9}{5}}= 126 $ cinquine
quindi i numeri di cinque cifre debolmente crescenti sono 9+72+72+256+256+504+126=1287
Inviato: 15 mar 2010, 21:15
da trugruo
Provate a spiegare perché più semplicemente la risposta è BIN(13,5)
Inviato: 16 mar 2010, 21:05
da exodd
combinazioni con ripetizione di 10 cifre in 5 posti: BIN(14,5)
numeri che iniziano con lo zero = combinazioni con ripetizione di 10 cifre in 4 posti: BIN(13,4)
BIN(14,5) - BIN(13,4) = BIN(13,5)