OliForum Matematico

Siccome la neve costringe molti a stare a casa ,vi propongo alcuni
esercizi di rapida soluzione.

1) Siano x,y,z tre variabili reali soddisfacenti il sistema:

$ \displaystyle \begin{ cases} x+y+z=4\\ 2xy+3yz+zx=8\\ \end {cases} $

Dopo aver verificato che la variabile z ha un valore minimo m
ed uno massimo M ,determinare le soluzioni del sistema per z=m e per z=M

2) Dimostrare che l'equazione:
$ \displaystyle x^4+47=5y^4 $
non ha soluzioni intere

3) Stabilire se esiste una funzione uno-a-uno f : R->R verificante la relazione:
$ \displaystyle 4f(x^4+1)-f^2(x^2+1) \geq 4 $

2)
E sufficiente analizzarla modulo 5 e notare che non c'è nessun numero x che ha una quarta potenza congrua a -2 modulo 5?

soluzione al numero 1:
$ 2xy+3yz+zx=2y(x+z)+z(x+y)=2y(4-y)+z(4-z) $
Quindi deve valere $ 2y(4-y)+z(4-z)=8 $.
Però $ 2y(4-y)\le 8 $, quindi $ 0=2y(4-y)+z(4-z)-8\le 8+z(4-z)-8=4z-z^2 $. Quindi $ 4z-z^2\ge 0 $, ovvero $ 0\le z\le 4 $.
Questo risultato si può ottenere anche sostituendo x nella seconda equazione e imponendo il delta rispetto a y $ \ge 0 $, ma cosi mi sembrava più elegante
Alla luce di ciò ovviamente il massimo è 4 e il minimo è 0.
La soluzione per $ z=4 $ è $ x=-2,y=2 $, mentre la soluzione per $ z=0 $ è $ x=2,y=2 $

karl ha scritto: 3) Stabilire se esiste una funzione uno-a-uno f : R->R verificante la relazione:
$ \displaystyle 4f(x^4+1)-f^2(x^2+1) \geq 4 $

uno-a-uno significa iniettiva? Altrimenti basta prendere $ f(x)=2 $

[quote="Maioc92"] $ 0=2y(4-y)+z(4-z)-8\le 8+z(4-z)-8=4z-z^2 $. [quote]
scusa perchè 2y(4-y)+z(4-z)-8\le 8+z(4-z)-8?

@Maioc92.
Certo, uno-a-uno è un altro modo di dire che ogni elemento
del codominio è il corrispondente di un solo elemento del dominio
o se si vuole che elementi distinti hanno immagini distinte.
Definizione classica di funzione iniettiva...

@Fedecart
Esatto .Equivalentemente si può dire che è :
$ x^4 \equiv 3 (mod 5) $
E ciò è imposibile dato che la cifra finale della quarta potenza
di un intero è in {0,1,5,6}

Maioc92 ha scritto:soluzione al numero 1:
$ 2xy+3yz+zx=2y(x+z)+z(x+y)=2y(4-y)+z(4-z) $

$ 2y(x+z)+z(x+y) $....l'ho capito, ma tramite che razza di scomposizione ci arrivi?

Claudio. ha scritto: $ 2y(x+z)+z(x+y) $....l'ho capito, ma tramite che razza di scomposizione ci arrivi?

???Comunque mi sono un po' complicato la vita, ricavare la x dalla prima equazione e sostituirla nella seconda era la stessa cosa

Soluzione al 3:
no,non ne esistono.
Infatti ponendo x=0 abbiamo $ f(1)(4-f(1))\ge 4 $. Ma $ f(1)(4-f(1))\le 4 $, e l'uguaglianza vale solo se $ f(1)=2 $.
Allo stesso modo ponendo x=1 si ottiene $ f(2)(4-f(2))\ge 4 $, e analogamente a prima si conclude che $ f(2)=2 $.
Quindi $ f(1)=f(2)=2 $, ma questo è contro l'ipotesi che la funzione sia iniettiva, e cosi si conclude che non esiste una tale funzione.

P.S:comunque veramente carini questi quesiti anti-neve!!!

Come sei arrivato da $ 2xy+3yz+zx $ a $ 2y(x+z)+z(x+y) $

Claudio. ha scritto:Come sei arrivato da $ 2xy+3yz+zx $ a $ 2y(x+z)+z(x+y) $

$ 2xy+3yz+zx=2xy+2yz+yz+xz=2y(x+z)+z(x+y) $

karl ha scritto:la cifra finale della quarta potenza
di un intero è in {0,1,5,6}

Come lo dimostro senza analizzare ogni possibile cifra finale?

@Claudio
Operando in modulo 5 le cifre si riducono a {0,1} e 3 non è tra queste.
Poiché l'uso delle congruenze in un opportuno modulo semplifica di
parecchio la questione non mi complicherei la vita andando a cercare altri tipi
di soluzioni.Ma se qualcuno ci riesce ben venga !

@ Maioc92
Per x=0 si può scrivere anche così :
$ \displaystyle (f(1)-2)^2 \leq 0 $
che evidentemente è vera solo per f(1)=2.E così per x=1.Ma stiamo lì...
Sono contento che i quesiti siano piaciuti,magari ne organizzo qualche altro.

karl ha scritto:@Claudio
Operando in modulo 5 le cifre si riducono a {0,1} e 3 non è tra queste.
Poiché l'uso delle congruenze in un opportuno modulo semplifica di
parecchio la questione non mi complicherei la vita andando a cercare altri tipi
di soluzioni.Ma se qualcuno ci riesce ben venga !

E questo lo vedi ponendo $ x \equiv 1,2,3,4 \pmod5 $?

calcolatrice online

Claudio. ha scritto:

karl ha scritto:@Claudio
Operando in modulo 5 le cifre si riducono a {0,1} e 3 non è tra queste.
Poiché l'uso delle congruenze in un opportuno modulo semplifica di
parecchio la questione non mi complicherei la vita andando a cercare altri tipi
di soluzioni.Ma se qualcuno ci riesce ben venga !

E questo lo vedi ponendo $ x \equiv 1,2,3,4 \pmod5 $?

Eccerto che si.