Didattica matematica?

[Ani-sama]

Se Analisi 2 ha un libro di testo ora che e' la meta' di quello che avevo io, vuol dire che pure il programma e' circa dimezzato. E sono dimezzate le possibilita' di approfondimento sul testo.

Ma in realtà quel che è cambiato è solo l'organizzazione dei corsi! Cioè, da annuali sono diventati semestrali. Per forza che si fanno meno argomenti in sei mesi! Però quel che veniva fatto al vecchio Analisi 2 e non nel "nuovo" Analisi 2, trova spazio in corsi con altri nomi! Per esempio, io ho avuto un intero corso dedicato alle equazioni differenziali ordinarie, al secondo anno.

Cose' la topologia, che e' un insieme aperto, un punto di accumulazione, insieme connesso, ...
tutto perso. Sono ben pochi quelli che si "divertono" ad analisi

A onor del vero questi argomenti sono più precisamente Geometria... e comunque stai certo che a Matematica uno esce che sicuramente conosce almeno i fatti di base di topologia generale, spesso e volentieri anche un po' di topologia differenziale e algebrica. Vecchio o nuovo ordinamento che sia, credimi. Sono argomenti che non vengono svolti in "Analisi" ma trovano comunque spazio altrove. Se non sei convinto vieni pure a seguire da noi il corso di "Introduzione alla Topologia Algebrica", poi potremo riparlare sul fatto o meno che i corsi del nuovo ordinamento siano più facili/meno approfonditi/...

Di solito i corsi di "Meccanica razionale" et similia una volta erano tenute da Matematici ergo fatte secondo crismi.

Guarda, questo io non lo so, credo anzi che ogni ateneo si organizzasse come meglio credeva. E comunque quanto dici può valere per gli atenei di cui hai esperienza, ma non certo per tutti...

Io non penso che, una volta laureato, sarò un matematico formato tanto peggio o tanto meglio di quelli formati con il vecchio ordinamento. Anche perché non vedo un grande svantaggio nell'avere corsi di un semestre piuttosto che di un anno. Probabilmente gli anni di "transizione" sono stati i peggiori, perché magari - quello sì - non si aveva ancora ben chiaro come riorganizzare la didattica. Ma una volta superato quel periodo, ripeto, a fare la differenza in un corso resta la capacità e l'impegno del docente che lo tiene, e quanto egli risulta esigente nei confronti degli studenti.

[Tibor Gallai]

Opzione 2 (ragionevole): dimostriamo che una funzione continua mappa intervalli in intervalli. Posto la dimostrazione la posto in un prossimo messaggio. [...]
E' evidente che la mia filosofia è discutibile: sacrifico pesantemente la forma all'intuizione e svolgo dimostrazioni lacunose. Ma l'alternativa "atto di fede" a me sembra molto peggio.

Ti ringrazio per la dimostrazione che mi hai allegato in messaggio privato! L'ho letta e devo dire che è apprezzabile, ma purtroppo contiene un errore (secondo me) dove dice "Viceversa, se si suppone che w sia elemento di B, con un analogo ragionamento si prova che se $ $x \in [x_1; w[ $ segue $ f(x)\leq \xi$ $". Poiché w è il sup di A, a priori puoi dire soltanto che esistono punti di A arbitrariamente vicini a w, ma non che un intorno sinistro di w (e tantomeno tutto $ $[x_1;w[ $) appartiene ad A. Puoi comunque concludere elegantemente usando il teorema di permanenza del segno: se $ $f(w)>\xi $, per continuità esiste un intorno di w dove $ $f > \xi $. Ma questo è assurdo perché arbitrariamente vicino a w esistono elementi di A.

Secondo me c'è un modo più naturale per esporre tutto quanto, compresa la roba sui compatti che vanno in compatti... Ed è il modo topologico. Essenzialmente dovresti usare la definizione topologica di continuità (ovvero per lo meno far vedere che è implicata dalla definizione con epsilon e delta), e dedurre tutto usando quella. Molte cose vengono fuori nel modo più naturale possibile, per un paio di altre c'è da scrivere un teoremino ad hoc. Secondo me è il modo più efficiente e più soddisfacente di presentare tutto. Perché nota che argomentare il teorema sugli intervalli chiusi con un "si vede" richiede un atto di fede strettamente più forte dell'accettare il solo teorema di Weierstrass... Per il semplice fatto che Weierstrass è una banale conseguenza del teorema degli intervalli chiusi. In sostanza ingigantisci il problema e lo "nascondi" da un'altra parte.

Senza nessuna presunzione, vorrei proporti questa strada alternativa, che appena ho 2 minuti metterò a punto e ti scriverò nei dettagli. Magari funziona meglio, non so...

[Kopernik]

Senza nessuna presunzione, vorrei proporti questa strada alternativa, che appena ho 2 minuti metterò a punto e ti scriverò nei dettagli. Magari funziona meglio, non so...

Mi piacerebbe molto conoscere la tua proposta. Sono sempre alla ricerca di qualcosa che riesca a conciliare la forma con la semplicità. Tra l'altro concordo con te sull'importanza di dare un'impostazione topologica all'intero impianto dei limiti e della continuità. Non sopporto tutti quegli $ \epsilon $ e $ \delta $, e dimostro tutti i teoremi sui limiti usando gli intorni. Gli unici strumenti fondamentali sono dimostrare che l'intersezione di un numero finito di intorni di un punto è ancora un intorno del punto, e che dati due punti distinti esistono due loro intorni che hanno intersezione vuota. Purtroppo invece la maggior parte dei testi usa la metrica per dimostrare la permanenza de segno, l'unicità del limite ecc. ecc.

[Pigkappa]

Non era un fisico, ma una capra!
Io non ho fatto Matematica ma i corsi di Analisi erano belli pengi e completi (ora fanno orrore). quando ancora "Analisi 2" DeMarco era in 2 volumi

Io sono laureato in fisica, e la preparazione che ho avuto in matematica è drasticamente inadeguata per insegnare.

Beh, adesso io non esagererei. Io ho finito il 1° anno di Fisica e ora faccio il 2°; mi sembra di aver già studiato tutte le cose che ragionevolmente un insegnante di matematica al liceo dovrebbe sapere, o che quelle che mancano potrei vedermele di volta in volta senza particolare fatica. Il professore di analisi entra in classe all'inizio dell'orario previsto e spiega ogni volta per 2 ore ininterrottamente, e lo stesso vale per l'esercitatore. Non so come facevate un tempo a fare corsi "belli pengi e completi" rispetto a ora, forse avevate 15 ore di Analisi la settimana, ma sinceramente ci credo fino a un certo punto.

Cose' la topologia, che e' un insieme aperto, un punto di accumulazione, insieme connesso, ...

Queste sono tutte nozioni che rientrano nel programma standard di Analisi che si fa a fisica il primo o il secondo anno (tranne la topologia, ma alla fine non penso sia così importante; i fisici usano spesso spazi topologici che non siano spazi metrici?)

E' chiaro comunque che un fisico non è un matematico. Se l'analisi non gli piace e per quello che fa a partire dal 3° anno gli serve solo saperci fare i conti, non penso si possa criticarlo se si dimentica la dimostrazione del teorema di Weierstrass o quali sono le ipotesi del teorema di Schwarz. Potrebbe essere un problema se fosse un analista, ma non lo è.

[SkZ]

i corsi di Analisi 1 e 2 erano di 100 ore. Ho un certificato dell'universita' che lo attesta se vuoi.
10 ore a settimana

Anisama, io parlavo di corsi per Fisici, non per Matematici.

[Ani-sama]

Oh, beh, se è per quello i miei Analisi A e Analisi B erano ciascuno di 84 ore. Semestrali.

Però che strano, 10 ore a settimana, 100 ore totali vuol dire 10 settimane. Ma non sono un po' poche? Appena due mesi e mezzo effettivi di lezioni.

Curioso, comunque, che a fisica mandassero matematici a insegnare la meccanica analitica.

[SkZ]

forse a fisica no, non so dovrei chiedere.
Ad Astronomia c'era Troilo, che era di Matematica

[Ani-sama]

Per inciso, ho scoperto adesso che "pengio" è un friulanismo. Mi domandavo cosa volesse dire, e sospettavo fosse un errore di stampa. Ma pensa te.

Piuttosto, davvero non ho capito una cosa: ma se, come immagino, Analisi 1 era annuale, come mi spieghi 10 ore di lezione a settimana ma solo 100 ore totali di lezioni?

[EvaristeG]

[mode MOD ON]
SkZ e Ani-Sama, smettetela di andare off topic... si parla di didattica, non della preparazione dei didatti!
[mode MOD OFF]

Poi, alcune puntualizzazioni noiose:
i) una funzione che manda intervalli in intervalli si dice (di solito) di Darboux... da che io mi ricordi, il fatto che le funzioni continue sono di Darboux si dimostra con il teorema dei valori intermedi, quindi la faccenda non mi convince più di tanto...
ii) una funzione continua NON manda SEMPRE intervalli APERTI in intervalli APERTI, né CHIUSI in CHIUSI... ad esempio, la funzione f(x)=sin(x) manda l'aperto (0,2pi) nel chiuso [-1,1]

Infine, sul tema iniziale, volevo dire una cosa.

Preparando materiale per le olimpiadi di matematica, mi è capitato due o tre volte di incappare nel tema della continuità; una volta con le trasformazioni del piano, una volta con alcune equazioni funzionali.

Nel caso delle equazioni funzionali era una faccenda abbastanza tecnica (tanto per essere precisi, si voleva dimostrare che due funzioni continue non costanti tali che
$ f(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x) $ e $ g(x-y)=g(x)g(y)-f(x)f(y) $ sono seno e coseno a meno di multipli) e servivano successioni, punti di accumulazione, considerazioni di densità.

Nel caso delle trasformazioni del piano, la faccenda è stata ben più irritante: la continuità delle trasformazioni del piano spesso è sottaciuta in dimostrazioni che riguardano i luoghi geometrici, nel determinare l'immagine di un sottoinsieme del piano rispetto a una certa trasformazione. In tal caso, il concetto di "punti che si avvicinano vanno in punti che si avvicinano" è, se vogliamo, intuitivo e può essere espresso in termini di distanza, arrivando alla consueta formulazione di epsilon e delta... con questa idea, ho provato a scrivere un'introduzione alle trasformazioni del piano che sviluppasse contemporaneamente i concetti basilari della continuità. Non so se è stata la mia poca esperienza, ma il lavoro ha iniziato ad espandersi incontrollatamente ed è naufragato qualche mese dopo. I problemi principali erano la difficoltà ad introdurre in maniera non troppo forzata i concetti di topologia e l'impossibilità di ridurre certe dimostrazioni in un linguaggio non troppo astratto, ma legato alla situazione più concreta da cui si era preso il via. Insomma, il risultato sarebbe stato magari gradevole per qualche studente molto interessato e con buone capacità (e tanta voglia), ma non fruibile da un generico studente medio (medio nel senso di 6/7 in matematica, che non è la media, di solito).

Un'altra questione che mi è sempre sembrata degna di nota è il problema della misurazione delle aree (e quindi la teoria della misura secondo lebesgue su R^2)... a seguito di alcune discussioni in proposito su questo forum ero riuscito a trovare un'esposizione della faccenda che ricavasse la definizione di misura da richieste "ragionevoli" sulla funzione "area", sfruttando solo la definizione base di continuità.

Negli ultimi due anni, però, ho avuto parecchie esperienze negli stages locali, trovandomi davanti a classi di tutt'Italia, cmq formate da studenti interessati e motivati. Questo mi ha fatto ricredere molto sulla praticabilità di certe aggiunte didattiche, trovando da una parte che lacune anche minori nella preparazione dei primi anni potevano compromettere la spiegazione di altre cose e dall'altra che spesso è difficile spiegare il perché di certe definizioni, di certe dimostrazioni, di certe scelte. La cosa peggiore però è stato trovare certi studenti che erano rassegnati a non sapere il perché delle cose, a non porsi domande sull'organizzazione della materia che stavano imparando, a non approcciare con mentalità critica le definizioni o i metodi di dimostrazione.

In definitiva, mi piacerebbe tantissimo sapere che alle superiori la continuità è insegnata per bene, già da prima del V anno, magari tramite la geometria, ma mi rendo conto che non ci sono i presupposti (tra gli studenti e tra gli insegnanti) per ottenere una cosa simile.

[Nonno Bassotto]

Qualche considerazione veloce.

1) Il fatto che una funzione continua mandi intervalli in intervalli è una riformulazione del teorema del valore intermedio. Questo non implica che mandi compatti in compatti (cioè soddisfi Weierstrass). Ad esempio tutte le derivate soddisfano il teorema del valore intermedio ma non credo soddisfino Weierstrass (anche se non ho pensato a un controesempio).

2) Il teorema del valore intermedio per le funzioni continue (più forse la proprietà di archimede) effettivamente implica l'assioma di continuità per i numeri reali, e quindi Weierstrass. Tuttavia far vedere questo è ovviamente molto più difficile che fare le dimostrazioni standard. Non credo esistano implicazioni "ovvie" tra valori intermedi e Weierstrass, anche in vista del punto 1.

3) La proprietà del valore intermedio è proprio ovvia, basta farsi un disegno. Se passo da sopra a sotto una retta senza staccare la penna dal foglio, certamente dovrò incrociare la retta. Infatti non è questo, nella mia opinione, il punto del teorema del valore intermedio.

Il teorema non ci dice qualcosa che non sapessimo già. Il valore del teorema sta nel fatto che ci dà una conferma che prendere i numeri reali come modello della retta è una buona idea. I greci usavano i razionali come modello della retta, finché non hanno scoperto che questo non funzionava.

Se io dovessi spiegare il teorema del valore intermedio a degli studenti di liceo, magari non darei la dimostrazione, però spiegherei perché non è ovvio. La funzione $ x^2 -2 $ è una funzione continua da Q in Q, che però non soddisfa la proprietà del valore intermedio. Chi ci dice che non esistano esempi del genere con i numeri reali? Il solo fatto che gli studenti abbiano imparato da anni ad usare i numeri reali come coordinata su una retta non significa che le proprietà analitiche dei numeri reali effettivamente riflettano le proprietà geometriche delle rette.

Credo che questa spiegazione, anche senza la dimostrazione, dia un po' l'idea di qual è il senso del teorema, e tolga quella sensazione di stare studiando una cosa ovvia ma riformulata in maniera difficile.

4) Invece non vedo come degli argomenti intuitivi possano giustificare il teorema di Weierstrass. Lo stesso problema che è risolto da Weierstrass (che possa esistere un estremo superiore senza essere raggiunto) è un problema piuttosto sottile, che è stato ignorato dai matematici per secoli.

Forse fare qualche esempio di funzioni ragionevoli senza massimo o minimo (ad esempio il triangolo non degenere di area minima inscritto in un cerchio) può dare un'idea di quale sia il punto del teorema.

Meglio ancora sarebbe trovare un problema "naturale" (magari geometrico) in cui un minimo non esiste, tale che un ragionamento del genere sussista: se c'è un minimo, allora è l'oggetto x. Tuttavia si può vedere che x non è un minimo.

Questo darebbe un esempio di situazione in cui il punto delicato non è trovare il minimo assumendo che ci sia, ma vedere che un minimo ci sia (infatti non c'è).

5) Molti di quelli che sostengono (probabilmente a ragione) che al liceo queste dimostrazioni siano troppo difficili si basano sul fatto che le successioni siano un concetto troppo delicato. In realtà non credo che l'idea di funzione sia tanto più semplice: anzi, i limiti di funzione sono un'idea secondo me più complessa di quelli di successione, se non altro perché bisogna escludere il valore della funzione nel punto.

In ogni caso esistono dimostrazioni di entrambi i teoremi che non fanno uso delle successioni. In realtà queste dimostrazioni sono più sofisticate, perché bisogna saper maneggiare meglio la definizione di estremo superiore (che è secondo me la vera cosa delicata).

[Nonno Bassotto]

Infine, in una discussione sulla didattica, non posso non citare Lockhart, del quale, nemmeno a dirlo, sottoscrivo ogni parola.

[SkZ]

ma le successioni aritmetiche e geometriche non sono nei libri del biennio?
Quello che ho trovato fastidioso e' fare la fisica di terza con concetti di matematica del programma di 4 (seni e coseni) e 5 (limiti e derivate)
in effetti penso che lo scientifico debba avere piu' ore di matematica che di latino

[Kopernik]

Ringrazio sia Evariste sia Nonno Bassotto per essere intervenuti con autorevolezza nel mio dialogo con Tibor. Come ho già detto, sono cosciente di tutti i punti deboli di cui parlate (anche se sono meno bravo di quanto voglio far credere); e so bene che nei miei ragionamenti è presente un certo grado di circolarità (uso surretiziamente delle proprietà che non ho ancora dimostrato), ma questo è il meglio che finora sono stato capace di trovare per insegnare a una classe di livello medio. Il mio obiettivo è una mediazione fra: chiarezza, correttezza, semplicità. Laddove dovessi provilegiare una di queste, farei a pezzi le altre due; e comunque il tempo a disposizione è pochissimo. E' triste ammettere che alla fine mi accontento di dare un'idea di quali sono i concetti principali e i metodi di affrontarli, ma non arrivo a sciogliere i nodi fondamentali dell'analisi (che comunque hanno richiesto quasi due secoli, da Newton a Dedekind, per essere formalizzati in maniera soddisfacente; quindi non sono banalità).
Rispondo ora ad alcune delle vostre osservazioni.
Evariste:
- è vero, ho scritto una cosa imprecisa qualche post fa, quando ho detto che una funzione continua trasforma aperti in aperti; è però vero che trasforma chiusi in chiusi.
- Attenzione a non basarti sugli studenti che incontri agli stage. Quelli sono i migliori dei migliori dei migliori. Un insegnante non può lavorare tenendo presente solo loro. Oltretutto nella maggior parte delle mie classi non ce n'è NEPPURE UNO di quel livello.
- Rispondo infine alla tua domanda: no, la continuità non è insegnata bene; nella maggior parte dei casi perché agli insegnanti non interessa e si limitano a leggere il libro. Ad altri interessa, ma trovare una via soddisfacente è molto difficile. Come ho detto a Tibor, spero molto in qualche idea nuova da parte vostra.
Nonno Bassotto:
- lavorare con i reali a scuola è più difficile di quanto sembri. Io cerco di spiegare bene i reali in quarta (anche se i ragazzi li usano già dalla seconda) usando le classi contigue, ma un buon 80% dei miei studenti non mi segue. Figurati se facessi le sezioni di Dedekind...
- So che l'implicazione (funzione che mappa intervalli in intervalli)-->(Weierstrass) non è soddisfacente, ma non sono ancora riuscito a trovare niente di meglio.
- Le successioni al liceo si possono fare, e certamente non sono più difficili del concetto di limite di una funzione. Anzi anni fa usavo iniziare dalle successioni per introdurre i limiti. Poi ho smesso per problemi insormontabili di tempo. Ho tre ore alla settimana, in cui devo: spiegare tutta l'analisi; interrogare 25-30 studenti almeno 2 volte a quadrimestre; fare tre compiti in classe a quadrimestre. Non ce la posso fare.
- Sono d'accordo sull'importanza e la difficoltà di definire l'estremo superiore e inferiore. Io cerco di farla bene con molti esempi, ma questo poi non mi dà un aiuto immediato nel dimostrare Weierstrass.
- Da ultimo: leggerò con interesse e attenzione l'articolo di Lockharts

[Kopernik]

ma le successioni aritmetiche e geometriche non sono nei libri del biennio?
Quello che ho trovato fastidioso e' fare la fisica di terza con concetti di matematica del programma di 4 (seni e coseni) e 5 (limiti e derivate)
in effetti penso che lo scientifico debba avere piu' ore di matematica che di latino

Nel biennio si dovrebbero fare progressioni aritmetiche e geometriche.
Per il resto hai centrato il problema. Per fare le cose bene avrei bisogno di una quantità di tempo almeno doppia di quella che ho effettivamente.

[Maioc92]

in effetti penso che lo scientifico debba avere piu' ore di matematica che di latino

infatti la distribuzione oraria è assurda. Tanto per fare un esempio nel mio indirizzo in quinta si fanno 5 ore settimanali di matematica e 6 (non sto scherzando) ore di storia e filosofia. Maledetto Gentile e la sua concezione umanistica della scuola