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dimostrare che lo spazio dei polinomi a coefficienti reali non è isomorfo (come spazio vettoriale reale) allo spazio delle successioni a valori reali.

Il secondo è duale del primo, ergo ha dimensione strettamente maggiore.

Come si dimostra, a grandi linee?

siamo sicuri che la cosa non sia ciclica?
cioè che per dimostrare il fatto generale non serva risolvere (una generalizzazione de) il problema originale?

Boh, io avevo questo fatto macroscopico che balenava nel cervello, poi non ricordo come si dimostri... Può essere.

ma_go ha scritto:siamo sicuri che la cosa non sia ciclica?
cioè che per dimostrare il fatto generale non serva risolvere (una generalizzazione de) il problema originale?

Non ho capito cosa intendi. Comunque il succo della cosa sta nel dimostrare che la dimensione di uno spazio vettoriale e' ben definita, cosa che in generale richiede qualche forma di assioma della scelta (ad esempio induzione transfinita).

Nel caso particolare di questi due spazi si puo' anche usare

il teorema di Baire

Mah, dipende quanta teoria vuoi usare. Ad esempio:

le successioni reali contengono come sottospazio vettoriale le successioni tali che $ \sum a_n^2<+\infty $ (ovvero $ \ell_2 $), che è uno spazio di Hilbert (classico risultato) infinito-dimensionale (le succesisoni definitivamente nulle vi appartengono) con la norma ovvia ($ \|\{a_n\}\|=\sqrt{\sum a_n^2} $); del resto, i polinomi hanno una base numerabile come spazio vettoriale e non esiste un Hilbert con base numerabile;

oppure

le successioni sono il prodotto di N volte R, i polinomi sono la somma diretta di N volte R e queste due cose sono distinte, per insiemi infiniti (ed R lo è);

Tibor Gallai ha scritto:Il secondo è duale del primo, ergo ha dimensione strettamente maggiore.

Ma non è assurdo, essendo la dualità involutiva?

Lo è (a meno di isom.) solo in dimensione finita.

EvaristeG ha scritto:[...]del resto, i polinomi hanno una base numerabile come spazio vettoriale e non esiste un Hilbert con base numerabile;

oppure

le successioni sono il prodotto di N volte R, i polinomi sono la somma diretta di N volte R e queste due cose sono distinte, per insiemi infiniti (ed R lo è);

mi sembra che ciascuno di questi due fatti sia sostanzialmente quello che chiedo.
allora o mi dimostri che $ \ell^\infty $ non è separabile (e allora mi sta bene, è una dimostrazione che parte da topologia abbastanza spiccia), oppure mi dimostri a scelta uno dei due fatti.

@nonno bassotto: non conosco la dimostrazione del fatto citato da tibor, cioè che il duale di uno spazio vettoriale abbia dimensione maggiore dello spazio di partenza (dimensione infinita), quindi non so dire se la dimostrazione del fatto generale sia una generalizzazione del(la dimostrazione che ho in mente io per il) caso particolare.
e comunque si può dimostrare senza parlare di dimensione infinita.

@edriv: se pensi al fatto che il duale di L^p è L^q (per q opportuno e per quasi tutti i p) o che un hilbert è auto-duale, occhio: c'è della continuità in tutto ciò...

beh, il secondo metodo che ho detto non usa nulla sulla dimensione

sì, sì..
magari adesso provo a dimostrarlo usandolo, questo tuo suggerimento..

Fra l'altro non servono risultati generali per vedere che lo spazio delle successioni ha dimensione più che numerabile. È sufficiente trovare più che numerabili vettori linearmente indipendenti. Una possibile scelta è

l'insieme delle successioni della forma x^n, per il determinante di Vandermonde

ecco, questo è il tipo di soluzione che cercavo
molto, molto intelligente, devo dire. chapeau.

Già che c'ero ho pensato anche al fatto generale che la dimensione di V* è maggiore della dimensione di V quando V ha dimensione infinita. È un fatto che ho sempre preso per buono, ma non mi ero mai preso la briga di dimostrarlo. Penso che si possa fare così.

Prima osservazione. Sia k un campo e V uno spazio vettoriale su k di dimensione >= cardinalità di k (e infinita). Allora dim V* > dim V.

Infatti in questo caso card V* > card V. Sia infatti E una base per V. Gli elementi di V* sono in corrispondenza con le funzioni da E a k, mentre gli elementi di V sono in corrispondenza con le funzioni da E a k a supporto finito. Ne segue che la cardinalità di V* è k^E, mentre la cardinalità di V è, se non sbaglio, pari alla cardinalità di E. Questo perché è un unione parametrizzata da E di cose di cardinalità al massimo E. Essendo E un cardinale infinito quest'unione dovrebbe avere cardinalità pari ad E (spero di non dire boiate). Chiaramente card E < 2^E <= card k^E.

Seconda osservazione. Siano h < k due campi. Se la tesi è vera per gli spazi vettoriali su h, allora è vera anche per quelli su k.

Infatti sia V uno spazio vettoriale su k, E una base. Le funzioni da E in h sono uno s. v. su h W con la proprietà che V è isomorfo all'estensione di W. Ogni funzionale da W in h si estende ad un funzionale da V a k. Pertanto
dim V = dim W < dim W* <= dim V*

Mettendo insieme le due osservazioni, ed usando il fatto che ogni campo contiene un campo di cardinalità al più numerabile (dunque <= di ogni cardinale infinito) si ottiene la tesi.

Boh, spero di non aver detto troppe cavolate...