OliForum Matematico

Ci provo...
$ (2^0+2^1+...+2^{x-1}) | 2(3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
$ (1/2 +1 +2^1+...+2^{x-2}) | (3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
La presenza di 1/2 ci suggerisce che deve esistere un k pari altrimenti non verrebbe un numero intero...
Ma la parte di destra è dispari, assurdo.

gismondo ha scritto:Ci provo...
$ (2^0+2^1+...+2^{x-1}) | 2(3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
$ (1/2 +1 +2^1+...+2^{x-2}) | (3^0+3^1+...+3^{y-1}) $
La presenza di 1/2 ci suggerisce che deve esistere un k pari altrimenti non verrebbe un numero intero...
Ma la parte di destra è dispari, assurdo.

attento perchè ti confondi, tu hai solo detto in altro modo che dispari*k=pari implica k pari, ma non puoi trovare un assurdo da ciò. Dopo devi fare riferimento alla prima scrittura non alla seconda

Chiamiamo A la parte sinistra: A non è un numero intero.
Chiamiamo B la parte destra: B è un numero dispari.
(2k) * A = B
Implica che B sia pari, ma non lo è...
Dove sbaglio?

gismondo ha scritto:Chiamiamo A la parte sinistra: A non è un numero intero.
Chiamiamo B la parte destra: B è un numero dispari.
(2k) * A = B
Implica che B sia pari, ma non lo è...
Dove sbaglio?

intanto per fare chiarezza diciamo che A e B sono l'LHS e l'RHS della seconda scrittura. Il fatto è che 2k*A è pari solo se k è pari, infatti se sviluppi 2A trovi che è della forma 2m+1

Hai ragione tu, scusa se ti ho fatto perdere tempo...

karlosson_sul_tetto ha scritto:

L'inizio e la fine dei mali personali (jordan) ha scritto:Appunto!

Quindi io ho chiesto per imparare!

Sei davvero vuoi imparare non postare tutti questi messaggi inutili e casomai prova a farlo un esercizio
Ps. Ora addirittura personali

jordan ha scritto:Ps. Ora addirittura personali

Solo

Se $ 2^x-1 $ è primo e $ y=2^x-2 $ è una soluzione.
Infatti semplicemente per il teorema di Fermat $ 3^{2^x-2}\equiv 1 \pmod{2^x-1} $

y è dispari

ah proprio non l'avevo visto, chiedo scusa!

No problem, almeno la tua osservazione però era giusta (seppur dovevi imporre x>2)

Ho una soluzione un po' brutta.. (sempre che sia giusta )
Vanno bene tutte le soluzioni $ \displaystyle~(1,y) $, perciò supponiamo $ \displaystyle~x>1 $: sia $ \displaystyle~p $ un primo che divide $ \displaystyle~2^x-1 $, allora $ \displaystyle~3^y\equiv 1\pmod p $. Se $ \displaystyle~g $ è il generatore modulo $ \displaystyle~p $ è $ \displaystyle~g^a\equiv 3\pmod p $ per qualche $ \displaystyle~a $. Quindi $ \displaystyle~g^{ay}\equiv 1\pmod p $, da cui $ \displaystyle~p-1\mid ay $. Segue che $ \displaystyle~a $ è pari e quindi $ \displaystyle~3 $ è un residuo quadratico. Ma con la reciprocità quadratica si trova facilmente che $ \displaystyle~3 $ è un residuo quadratico solo se $ \displaystyle~p\equiv \pm 1\pmod{12} $, da cui $ \displaystyle~2^x-1\equiv\pm 1\pmod{12} $. $ \displaystyle~2^x-1\equiv -1\pmod{12} $ implica $ \displaystyle~3\mid 2^x $, che non dà soluzioni. $ \displaystyle~2^x-1\equiv 1\pmod{12} $ implica $ \displaystyle~2^{x-1}\equiv 1\pmod 6 $, che dà $ \displaystyle~2^{x-1} $ dispari, falso se $ \displaystyle~x>1 $..

kn ha scritto:Quindi $ \displaystyle~g^{ay}\equiv 1\pmod p $, da cui $ \displaystyle~p-1\mid ay $. Segue che $ \displaystyle~a $ è pari

..Perchè? non potrebbe darsi che sia y ad essere pari?...spero di non aver scritto eresie perchè non sono molti pratico con i generatori...Comunque se non sbaglio $ 2^3-1|3^6-1 $..

Per fortuna per una volta jordan è stato umano e ha messo nelle ipotesi x,y dispari

Reginald, nel testo è precisato che y è dispari
@Kn: e perchè la giudichi brutta? (D'altronde non vedo molte altre strade per risolverlo.. )