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Determinare il minimo valore possibile per l'espressione
$ \sqrt{x^2+1}+\sqrt{(y-x)^2+4}+\sqrt{(z-y)^2+9}+\sqrt{(5-z)^2+36} $
al variare di $ x,y,z $ tra i numeri reali.
Io ho trovato 13, voi?

Io ho $ 5\dfrac{\sqrt{2}}{2} $...
Ditemi se sbaglio qualcosa.
Ognuno di quei termini fa pensare ad una media quadratica, a meno di un fattore... Trovando il minimo di ogni termine si trova la somma dei minimi e quindi il minimo dell'espressione. Nella disuguaglianza delle medie il minimo coincide col massimo quando tutte le medie coincidono.
Primo Termine
$ \dfrac{(x+1}{2}=\sqrt{dfrac{x^2+1^2}{2}} $
dunque
$ \sqrt{x^2+1}=\sqrt{2}\dfrac{(x+1}{2} $
Faccio lo stesso ragionamento per ogni termine.
Metto in evidenza $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
e ottengo $ \dfrac{\sqrt{2}}{2}(x+1+y-x+2+z-y+5-z+6) $
e dunque $ 5\dfrac{\sqrt{2}}{2} $

non sempre il minimo dell'espressione coincide con la somma dei minimi degli elementi che la compongono. Quello che dici tu vale solo se esistono x,y,z tali che
$ x^2=1,(y-x)^2=4,(z-y)^2=9,(5-z)^2=36 $, che mi sembra un sistema senza soluzione, a meno di errori di calcolo

Inoltre un'altra cosa a cui fare attenzione è che si parla di reali, non di reali positivi

È giusto 13.

Prendiamo nel piano cartesiano cinque punti (con $ 0\le x\le y\le z\le5 $):
$ O(0,0) $
$ A(x,1) $
$ B(y,3) $
$ C(z,6) $
$ D(5,12) $

Ora la somma richiesta è la somma $ \overline{OA}+\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD} $, che è minima se tutti i segmenti giacciono su $ ~OD $.
Se tutti i segmenti giacciono su $ ~OD $, lo stesso vale per tutti i punti, dunque la somma richiesta è proprio $ \overline{OD}=13 $.

Bellissima la soluzione di pak-man. Complimenti.

pak-man ha scritto:È giusto 13.

Prendiamo nel piano cartesiano cinque punti (con $ 0\le x\le y\le z\le5 $):
$ O(0,0) $
$ A(x,1) $
$ B(y,3) $
$ C(z,6) $
$ D(5,12) $

Ora la somma richiesta è la somma $ \overline{OA}+\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD} $, che è minima se tutti i segmenti giacciono su $ ~OD $.
Se tutti i segmenti giacciono su $ ~OD $, lo stesso vale per tutti i punti, dunque la somma richiesta è proprio $ \overline{OD}=13 $.

oddio, per carità non metto in discussione che sia giusta, ma da nOOb posso chiederti come arrivi a dire che le tre vvariabili sono comprese tra 0 e 5 e che i 5 punti da te trovati hanno quelle coordinate?? scusa la domanda da ignorante eh

Ogni radice corrisponde ad un segmento


Devi ricordare che la distanza tra due punti si calcola nel piano cartesiano con
$ \sqrt{(x_{a}-x_{b})^2+(y_{a}-y_{b})^2} $

La prima radice puoi quindi pensarla come
$ \sqrt{(x-0)^2+(1-0)^2} $ da cui ricaviamo il punto A (x;1) e O (0,0)

La seconda come...
$ \sqrt{(y-x)^2+(3-1)^2} $ x era già presente e quindi prendiamo anche l'ordnata del punto precedente

Il resto allo stesso modo. Quindi alla fine non l'ha proprio scelto lui che i punti debbano essere minori di 5

OriginalBBB ha scritto:Ogni radice corrisponde ad un segmento


Devi ricordare che la distanza tra due punti si calcola nel piano cartesiano con
$ \sqrt{(x_{a}-x_{b})^2+(y_{a}-y_{b})^2} $

La prima radice puoi quindi pensarla come
$ \sqrt{(x-0)^2+(1-0)^2} $ da cui ricaviamo il punto A (x;1) e O (0,0)

La seconda come...
$ \sqrt{(y-x)^2+(3-1)^2} $ x era già presente e quindi prendiamo anche l'ordnata del punto precedente

Il resto allo stesso modo. Quindi alla fine non l'ha proprio scelto lui che i punti debbano essere minori di 5

Quindi si può dire che ogni somma sotto radice corrisponde alla distanza tra due punti sul piano cartesiano?
(Conta che sono molto profano )

cellulacameratatumorale ha scritto:

OriginalBBB ha scritto:Ogni radice corrisponde ad un segmento


Devi ricordare che la distanza tra due punti si calcola nel piano cartesiano con
$ \sqrt{(x_{a}-x_{b})^2+(y_{a}-y_{b})^2} $

La prima radice puoi quindi pensarla come
$ \sqrt{(x-0)^2+(1-0)^2} $ da cui ricaviamo il punto A (x;1) e O (0,0)

La seconda come...
$ \sqrt{(y-x)^2+(3-1)^2} $ x era già presente e quindi prendiamo anche l'ordnata del punto precedente

Il resto allo stesso modo. Quindi alla fine non l'ha proprio scelto lui che i punti debbano essere minori di 5

Quindi si può dire che ogni somma sotto radice corrisponde alla distanza tra due punti sul piano cartesiano?
(Conta che sono molto profano )

A patto che sia una somma tra due quadrati.....

Scusate ma come si fa a determinare quei punti che indica Pac Man?? O meglio, in che modo $ \sqrt {x^2+1} = A(x,1) $$ \sqrt {(y-z)^2+4}= B(y,3) $$ \sqrt {(z-y)^2+9} = C(z,6) $$ \sqrt {(5-z)^2+36} = D (5,12) $?

Ho capito... Geniale... Pak man da dove ti è venuta questa idea?

Willy67 ha scritto:Scusate ma come si fa a determinare quei punti che indica Pac Man?? O meglio, in che modo $ \sqrt {x^2+1} = A(x,1) $$ \sqrt {(y-x)^2+4}= B(y,3) $$ \sqrt {(z-y)^2+9} = C(z,6) $$ \sqrt {(5-z)^2+36} = D (5,12) $?

Il primo punto ha distanza $ \sqrt{x^2+1} $ dall'origine, dunque per comodità consideriamo $ (x,1) $.
Il secondo punto ha distanza $ \sqrt {(y-x)^2+4} $, e poiché la distanza tra due punti $ (x_1,y_1) $ e $ (x_2,y_2) $ è $ \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} $, vediamo che ponendo $ x_1=x $ e $ y_1=1 $ si possono ricavare facilmente le coordinate del secondo punto, e via dicendo per gli altri.

Willy67 ha scritto:Ho capito... Geniale... Pak man da dove ti è venuta questa idea?

Notando che sotto ogni radice c'è una somma di quadrati, e...guarda caso si possono facilmente ricondurre a distanze di punti nel piano cartesiano.
Chiaramente non l'ho notato in gara ma tornando in treno

Il problema non si risolverebbe lo stesso col metodo pak-man senza porre le variabili comprese fra 0 e 5? Cosa cambia?