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Mostrare che esiste un intero positivo $ k $ tale che $ k2^n+1 $ non è primo per ogni $ n \in \mathbb{N} $.

dimostrare che esistono infiniti k con la proprietà sopra riportata

jordan ha scritto:Mostrare che esiste un intero positivo $ k $ tale che $ k2^n+1 $ non è primo per ogni $ n \in \mathbb{N} $.

Propongo una dimostrazione dipendente dal tempo (che ci vorra a provare una certa congettura) .


Sia Fm il piu' grande primo di Fermat (*). Allora per k = Fm-1, N = k2^n+1 e' un numero composto per ogni n.


Posto n = 2^p(2q+1), si ha che k2^n+1 = 2^(2^m) * 2^[2^p(2q+1)] + 1
che si puo' scrivere:

per p<m, 2^[(2q+1+2^(m-p))2^p]+1; essendo 2q+1+2^(m-p) dispari per ogni q, N e' divisibile per 3;

per p>m, 2^[(2q+1+2^(p-m))2^m]+1; per la stessa ragione di sopra 3|N;

per p=m, 2^[(q+1)2^(m+1)]+1; se q e' pari, allora 3|N se

se q=2^r(2s+1)-1, N e' composto, per la (*) o 3|N.

Il più grande primo di Fermat??

È bizzarro che la gente si diverte a supporre congetture devastanti che rendono banali i problemi di jordan. In questo caso è forse più costruttivo considerare il più piccolo numero di Fermat composto...

jordan ha scritto:Mostrare che esiste un intero positivo $ k $ tale che $ k2^n+1 $ non è primo per ogni $ n \in \mathbb{N} $.

Chuck Norris mi ha detto che $ n=78557 $ funge.