Somme simmetriche e congruenze modulo p
Inviato: 26 giu 2009, 12:02
Penso sia un lemma già famoso perciò, come ho già detto una volta, scrivete la soluzione solo se non sapete risolvere il problema.
Data una $ n $-upla $ (a_1; \cdots ; a_n) $, e un intero $ 1\leq k\leq n $, definiamo (come fa il Gobbino a pag. 25 delle Schede Olimpiche)
$ \[c_k=\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n} \prod_{j=1}^{k} a_{i_j}\] $, ovvero $ c_k $ è la somma di tutti i possibili prodotti di $ k $ fattori scelti tra $ a_1, \cdots , a_n $.
Sia ora $ p $ un primo e prendiamo la $ (p-1) $-upla (che bel neologismo!) $ (1; \cdots ; p-1) $; dimostrare che:
1) $ c_{p-1}=(p-1)!\equiv -1 \pmod{p} $ , noto anche come teorema di Wilson;
2) $ c_k\equiv 0 \pmod{p} \qquad \forall 1\leq k <p-1 $
BQ: se al posto di $ p $ primo prendiamo $ n $ generico, e come $ \phi(n) $-upla prendiamo quella composta dai numeri minori e coprimi con $ n $, il punto 2 rimane vero?
Data una $ n $-upla $ (a_1; \cdots ; a_n) $, e un intero $ 1\leq k\leq n $, definiamo (come fa il Gobbino a pag. 25 delle Schede Olimpiche)
$ \[c_k=\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n} \prod_{j=1}^{k} a_{i_j}\] $, ovvero $ c_k $ è la somma di tutti i possibili prodotti di $ k $ fattori scelti tra $ a_1, \cdots , a_n $.
Sia ora $ p $ un primo e prendiamo la $ (p-1) $-upla (che bel neologismo!) $ (1; \cdots ; p-1) $; dimostrare che:
1) $ c_{p-1}=(p-1)!\equiv -1 \pmod{p} $ , noto anche come teorema di Wilson;
2) $ c_k\equiv 0 \pmod{p} \qquad \forall 1\leq k <p-1 $
BQ: se al posto di $ p $ primo prendiamo $ n $ generico, e come $ \phi(n) $-upla prendiamo quella composta dai numeri minori e coprimi con $ n $, il punto 2 rimane vero?
