Premetto che non ho la più pallida idea di quale sia la difficoltà, quindi è possibilissimo che l'esercizio debba slittare in MnE. Comunque, giocherellando a fare conti con Python su questo esercizio di mod_2 viewtopic.php?t=12024, che usa il prodotto di radici con indici le potenze di 2, ho provato a fare farne la somma, e mi sono ritrovato questa bella cosa:
$ $\sum_{i=1}^n \diplaystyle\sqrt[{2^{i-1}}]{i}<n+2 $
Bonus question: se è qualcosa di simpatico e decente esprimibile in modo diverso che come limite di quella somma meno n, trovare l'upper bound.
E con la somma al posto del prodotto?
Come usuale definiamo $ \{x\}=x-[x] \in [0,1) $, dove $ [x] $ denota la floor function di $ x $.
Abbiamo $ \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}{i^{\frac{1}{2^{i-1}}}} < n+2 \leftrightarrow \sum_{i=2}^{\infty}{\{i^{\frac{1}{2^{i-1}}}\}}<2 $.
Ma possiamo mostrare che $ \{n^{\frac{1}{2^{n-1}}}\}<n^{-2}, \forall n>2^3 $, infatti $ (1+n^{-2})^{2^{n-1}}> 1+\frac{2^{n-1}}{n^2}+ \frac{2^{n-1}(2^{n-1}-1)}{2n^4} > $ $ 1+\delta +\frac{\delta^2}{2} = \frac{1}{2}((\delta+1)^2+1) > n, \forall n > 2^3 $, dove $ \delta=\frac{2^{n-1}-1}{n^2} $ (è sufficiente notare che $ \delta $ cresce esponenzialmente e per $ n=9 $ tale disuguaglianza è verificata, verifica fattibile anche a mano).
Adesso vediamo che la funzione $ f(x): \mathbb{N} \to \mathbb{R}^+, f(x)=\{x^{\frac{1}{2^{x-1}}}\} $ è strettamente descrescente se $ x>1 $ per cui possiamo concludere che $ \displaystyle \sum_{i=2}^{\infty}{\{i^{\frac{1}{2^{i-1}}}\}} < \sum_{i=1}^8{f(i)}+\sum_{i=9}^{\infty}{i^{-2}} < $$ 2f(2)+4f(4)+f(8)+(\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}{i^{-2}}-\sum_{i=1}^8{i^{-2}}) < $ $ 2\{\sqrt{2}\}+2^2\{\sqrt[2^3]{2^2}\}+\{\sqrt[2^7]{2^3}\}+(\displaystyle \frac{\pi^2}{6}-(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2})) < $$ 2 \cdot 0,42 + 4 \cdot 0,19 + 0,02+ ( 1,65 - ( 1+0,25+0,11)) = 1,91 < 2 $.
ps. ecco come ho passato una noiosa ora di sistemi finanziari.. da notare che l'unico calcolo che richiede l'uso di un calcolatore (che infatti non avevo) è stato quello di f(4) e di f(8 ), anzi f(8 ) si poteva anche omettere dato che il bound era cosi grande..
Abbiamo $ \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}{i^{\frac{1}{2^{i-1}}}} < n+2 \leftrightarrow \sum_{i=2}^{\infty}{\{i^{\frac{1}{2^{i-1}}}\}}<2 $.
Ma possiamo mostrare che $ \{n^{\frac{1}{2^{n-1}}}\}<n^{-2}, \forall n>2^3 $, infatti $ (1+n^{-2})^{2^{n-1}}> 1+\frac{2^{n-1}}{n^2}+ \frac{2^{n-1}(2^{n-1}-1)}{2n^4} > $ $ 1+\delta +\frac{\delta^2}{2} = \frac{1}{2}((\delta+1)^2+1) > n, \forall n > 2^3 $, dove $ \delta=\frac{2^{n-1}-1}{n^2} $ (è sufficiente notare che $ \delta $ cresce esponenzialmente e per $ n=9 $ tale disuguaglianza è verificata, verifica fattibile anche a mano).
Adesso vediamo che la funzione $ f(x): \mathbb{N} \to \mathbb{R}^+, f(x)=\{x^{\frac{1}{2^{x-1}}}\} $ è strettamente descrescente se $ x>1 $ per cui possiamo concludere che $ \displaystyle \sum_{i=2}^{\infty}{\{i^{\frac{1}{2^{i-1}}}\}} < \sum_{i=1}^8{f(i)}+\sum_{i=9}^{\infty}{i^{-2}} < $$ 2f(2)+4f(4)+f(8)+(\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}{i^{-2}}-\sum_{i=1}^8{i^{-2}}) < $ $ 2\{\sqrt{2}\}+2^2\{\sqrt[2^3]{2^2}\}+\{\sqrt[2^7]{2^3}\}+(\displaystyle \frac{\pi^2}{6}-(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2})) < $$ 2 \cdot 0,42 + 4 \cdot 0,19 + 0,02+ ( 1,65 - ( 1+0,25+0,11)) = 1,91 < 2 $.
ps. ecco come ho passato una noiosa ora di sistemi finanziari.. da notare che l'unico calcolo che richiede l'uso di un calcolatore (che infatti non avevo) è stato quello di f(4) e di f(8 ), anzi f(8 ) si poteva anche omettere dato che il bound era cosi grande..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: E con la somma al posto del prodotto?
1) D'accordo, ma qual'è il più piccolo c tale che
$ $\sum_{i=1}^n \diplaystyle\sqrt[{2^{i-1}}]{i}<n+c \, \forall n \in \mathbb N $? Quattro righe di codice mi hanno consentito di trovare che $ c \approx 1.148129915818572 $, una costante decisamente interessante. Una rapida ricerca qui (ottimo sito, tra parentesi) si è rivelata del tutto infruttuosa e sarei proprio curioso di scoprire se è possibile esprimere il tutto in termini di costanti elementari. Voi che ne dite? Possiamo già chiamarla "costante di julio14"?
Questo, purtroppo, è tutto il contributo che posso dare alla ricerca...
2) Che bello, esistono altri forumisti che utilizzano Python!
A voler essere pignoli, ne esiste almeno uno... a tal s-proposito, c'è qualcun altro?
Tanti saluti
Ob
$ $\sum_{i=1}^n \diplaystyle\sqrt[{2^{i-1}}]{i}<n+c \, \forall n \in \mathbb N $? Quattro righe di codice mi hanno consentito di trovare che $ c \approx 1.148129915818572 $, una costante decisamente interessante. Una rapida ricerca qui (ottimo sito, tra parentesi) si è rivelata del tutto infruttuosa e sarei proprio curioso di scoprire se è possibile esprimere il tutto in termini di costanti elementari. Voi che ne dite? Possiamo già chiamarla "costante di julio14"?
Questo, purtroppo, è tutto il contributo che posso dare alla ricerca...
2) Che bello, esistono altri forumisti che utilizzano Python!
A voler essere pignoli, ne esiste almeno uno... a tal s-proposito, c'è qualcun altro?
Tanti saluti
Ob
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös
Re: E con la somma al posto del prodotto?
Cosè Python? e a chi ti riferisci cmq?Oblomov ha scritto:2) Che bello, esistono altri forumisti che utilizzano Python!
A voler essere pignoli, ne esiste almeno uno... a tal s-proposito, c'è qualcun altro?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
@jordan Python è il linguaggio di programmazione che ho citato nel primo post e dal quale è saltato fuori questo esercizio, quindi suppongo si riferisse a me. 
Comunque bella dimostrazione, felice di esserti stato utile per l'ora di sistemi finanziari.
@Oblomov: Si anch'io avevo trovato quella costante, e in effetti lo scopo ultimo di questo post era proprio la bonus question dell'upper bound, anche se molto probabilmente esula dalle mie conoscenze.
p.s non che abbia molti termini di confronto, visto che conosco solo questo linguaggio e neanche troppo, ma Python per queste cose è una vera goduria... si fanno conti che è un piacere (forse l'unico caso in cui far conti è un piacere)
Comunque bella dimostrazione, felice di esserti stato utile per l'ora di sistemi finanziari. @Oblomov: Si anch'io avevo trovato quella costante, e in effetti lo scopo ultimo di questo post era proprio la bonus question dell'upper bound, anche se molto probabilmente esula dalle mie conoscenze.
p.s non che abbia molti termini di confronto, visto che conosco solo questo linguaggio e neanche troppo, ma Python per queste cose è una vera goduria... si fanno conti che è un piacere (forse l'unico caso in cui far conti è un piacere)