- $ f(x+yf(x))=f(x)f(y) $
Esistono al più un numero finito di $ x $ reali t.c. $ f(x)=1 $
Chi ha già trovato la soluzione (leggi edriv) è pregato di lasciare spazio agli altri.
Buon $ lavoro^3 $
I conti mi sembrano giusti, li ho controllati. Però, a parte il fatto che per un matematico $ f(x)! =0 $ significa "$ f(x) $ fattoriale uguale a zero" (:P), il passaggio che non mi torna è quello dopo:Stradh ha scritto:Io tento passando per equazioni differenziali, visto che si cerca una funzione:
Siano:
$ g(x,y)=f(x)f(y) $
$ h(x,y)=f(x+yf(x)) $
Osservo che una soluzione è $ f(x) \equiv 0 $ e la escludo. Considero f derivabile. Calcolo le derivate parziali rispetto a $ y $:
$ g_y(x,y)=f(x)f(y)=\frac {df(y)}{dy} * f(x) $
$ h_y(x,y)=\frac {df(x+yf(x))}{dy} * f(x) $
da cui ottengo se $ f(x)!=0 $:
Cioè, da quell'uguaglianza di derivate potresti al massimo tentare di dedurre che $ f(y) = f(x+yf(x)) + c $ con $ c $ una certa costante reale, ma probabilmente in realtà neanche quello perché quell'uguaglianza che hai scritto è un'uguaglianza fra *generici valori assunti dalla derivata della funzione*, il che credo complichi un po' l'integrazione diretta che si fa solitamente. Ma tu sei addirittura passato dall'uguaglianza tra le derivate di $ f $ in quei punti ad un non so cosa che assomiglia vagamente ad un misto tra uguagliare gli argomenti di tali derivate (illegittimo, a meno che non vi sia iniettività!) e un'integrazione diretta. Immagino che sia una svista madornale!Stradh ha scritto: $ \frac {df(y)}{dy}=\frac {df(x+yf(x))}{dy} $
ovvero:
$ y= x+yf(x)+c $
$ y(1-f(x))=x+c $
In realtà quello è un "diverso" e non mi sono accorto di averlo scritto!I conti mi sembrano giusti, li ho controllati. Però, a parte il fatto che per un matematico $ f(x)! =0 $ significa "$ f(x) $ fattoriale uguale a zero" (:P), il passaggio che non mi torna è quello dopo:
Già.Tibor Gallai ha scritto:Con reali positivi è Cortona 2002?
Così a occhio...