piccolo problema della normale
piccolo problema della normale
un problema della normale che mi ha fatto scervellare senza risultati.. se qualcuno riesce a risolverlo avrà la mia riconoscenza
si determini un polinomio p(x) di grado pari tale che sia ovunque positivo e si abbia:
p(1) = a ; p(2) = b ; p(3) = c
mie considerazioni:
dovrebbe essere di quarto grado, perchè se fosse di grado 2 avrei Ax^2 + Bx + C, che non mi permette di soddisfare tutte e 4 le condizioni
deve essere irriducibile o si annullerebbe in qualche punto
dovrebbe essere nella forma x^4 + Ax^3 + Bx^2 +Cx + D, quindi D positivo
si determini un polinomio p(x) di grado pari tale che sia ovunque positivo e si abbia:
p(1) = a ; p(2) = b ; p(3) = c
mie considerazioni:
dovrebbe essere di quarto grado, perchè se fosse di grado 2 avrei Ax^2 + Bx + C, che non mi permette di soddisfare tutte e 4 le condizioni
deve essere irriducibile o si annullerebbe in qualche punto
dovrebbe essere nella forma x^4 + Ax^3 + Bx^2 +Cx + D, quindi D positivo
Franz89
sfogliando le schede olimpiche, alla scheda A05 n.7, il testo afferma:
Assegnate n+1 coppie (2+1 nel nostro caso)......esiste un'unico polinomio p(x) di grado <=n (2 nel nostro caso) tale che p(1)=a, p(2)=b etc..
Ebbene, applicando tale enunciato non si trova nulla...non capisco il perchè!
Qualcuno può illuminare la questione? grazie
Assegnate n+1 coppie (2+1 nel nostro caso)......esiste un'unico polinomio p(x) di grado <=n (2 nel nostro caso) tale che p(1)=a, p(2)=b etc..
Ebbene, applicando tale enunciato non si trova nulla...non capisco il perchè!
Qualcuno può illuminare la questione? grazie
Cosa intendi per "non si trova nulla"?oli89 ha scritto:sfogliando le schede olimpiche, alla scheda A05 n.7, il testo afferma:
Assegnate n+1 coppie (2+1 nel nostro caso)......esiste un'unico polinomio p(x) di grado <=n (2 nel nostro caso) tale che p(1)=a, p(2)=b etc..
Ebbene, applicando tale enunciato non si trova nulla...non capisco il perchè!
Qualcuno può illuminare la questione? grazie
Come avete già osservato, le candidate soluzioni sono due:
1) il polinomio di secondo grado (l'*unico*) che passa per i tre punti dati -- per alcuni valori di a,b,c (quali?) capita che questo sia sempre positivo, per altri no
2) altrimenti, se (1) non funziona, un polinomio di quarto grado che passi per i tre punti dati E sia sempre positivo. Questo come si fa a trovarlo? Hint: cosa è sempre positivo o nullo? I quadrati...
3) una volta che avete finito, controllate che i coefficienti di testa dei polinomi che avete trovato siano diversi da zero -- altrimenti non sono più di grado pari!
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
in effetti ci ho pensato un po'...fph ha scritto:
Cosa intendi per "non si trova nulla"?
Come avete già osservato, le candidate soluzioni sono due:
1) il polinomio di secondo grado (l'*unico*) che passa per i tre punti dati -- per alcuni valori di a,b,c (quali?) capita che questo sia sempre positivo, per altri no
2) altrimenti, se (1) non funziona, un polinomio di quarto grado che passi per i tre punti dati E sia sempre positivo. Questo come si fa a trovarlo? Hint: cosa è sempre positivo o nullo? I quadrati...
3) una volta che avete finito, controllate che i coefficienti di testa dei polinomi che avete trovato siano diversi da zero -- altrimenti non sono più di grado pari!
concordo col tuo punto 2)
Infatti se p(x) è un polinomio di grado 4 sempre positivo ( e si interpreta positivo come >= 0) si ha:
- non è scomponibile
- è scomponibile in un monomio per un polinomio di terzo grado (x+A)(x^3 + Bx^2 + Cx + D), ma allora dev'essere per forza anche (x+A)^2 * F(x), con F(x) sempre positivo e di grado 2. F(x) a sua volta o ha il delta minore di 0 o è a sua volta un quadrato
- è scomponibile in due polinomi di secondo grado che hanno entrambi il delta minore di 0 o sono entrambi quadrati
Propongo di prendere il caso in cui p(x) sia il prodotto di due quadrati, cioè
p(x) = A*(x+B)^2*(x+C)^2
evidentemente, per A>0, p(x)>=0 per ogni x.
ora basta porre p(1)=a, p(2)=b e p(3)=c, a,b,c positivi
poichè si ha un sistema di tre equazioni a tre incognite, il sistema dovrebbe essere risolvibile.
Franz89
Curiosità: (a,b,c) e/o i coefficienti del nostro fantomatico polinomio debbono essere razionali?
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
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.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
Ma perché non seguite il suggerimento di fph? Ci sono almeno due soluzioni facilissime e suscettibili di infinite varianti. Aggiungo che per trovare il polinomio q(x) di secondo grado soddisfacente a q(1) = a e alle altre condizioni il metodo più rapido, secondo me, è porre
$ q(x)=q_1(x-2)(x-3)+q_2(x-3)(x-1)+q_3(x-1)(x-2) $
che permette l’immediato calcolo dei coefficienti $ q_i $
$ q(x)=q_1(x-2)(x-3)+q_2(x-3)(x-1)+q_3(x-1)(x-2) $
che permette l’immediato calcolo dei coefficienti $ q_i $
quindi tu avrestigianmaria ha scritto:Ma perché non seguite il suggerimento di fph? Ci sono almeno due soluzioni facilissime e suscettibili di infinite varianti. Aggiungo che per trovare il polinomio q(x) di secondo grado soddisfacente a q(1) = a e alle altre condizioni il metodo più rapido, secondo me, è porre
$ q(x)=q_1(x-2)(x-3)+q_2(x-3)(x-1)+q_3(x-1)(x-2) $
che permette l’immediato calcolo dei coefficienti $ q_i $
$ q_1 = a/2 $
$ q_2 = -b $
$ q_3 = c/2 $
giusto? ... e visto che non sia annulla mai e assume valori positivi, essendo p(x) una funzione continua, è sempre positivo.
Intelligente questa cosa
Franz89