Problema tratto da...il mio libro di greco <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> Comunque è una lettera di Archimede ad Eratostene di Cirene...beh a quei tempi non esistevano forum...
<BR>\"Amico, se sei sapiente, fa grande attenzione e calcola il numero dei buoi del sole, che un tempo pascolavano nelle pianure dell\'isola trinacria, divisi in quattro mandrie di colori differenti:uno bianco latte, il secondo nero brillante, il terzo biondo, il quarto screziato. In ciascuna mandria c\'erano tori in gran numero, in queste prporzioni:immagina,amico, che i bianchi fossero in numero pari alla metà aumentata di un terzo dei tori neri e di tutti i biondi, e i neri uguali rispettivamente ad un quarto degli screziati e ad un quinto di tutti i biondi. Considera poi che il numero degli screziati rimanenti era pari ad un sesto più un settimo del numero dei tori bianchi e al numero di tutti i biondi.
<BR>Queste invece erano le proporzioni delle vacche:le bianche erano esattamente uguali a un terzo più un quarto di tutta la mandria nera, mentre le nere a loro volta eguagliavano la quarta parte aumentata di un quinto delle screziate, quando tutte venivano a pascolare con i tori. Le screziate erano in numero uguale alla somma della quinta e della sesta parte della mandria bionda, e le bionde ammontavano alla metà di un terzo, aumentata di un settimo, della mandria bianca.
<BR>Amico se saprai dire esattamente quanti erano i buoi del sole, precisando il numero dei tori robusti e quello delle vacche per ciascun colore, non sarai certo chiamato ignorante nè incmpetente in fatto di numeri, ma non potrai nemmeno essere annoverato tra i sapienti. Ma suvia, rifletti sulle seguenti considerazioni riguardanti i buoi del sole. Quando i tori bianchi si univano ai neri formavano un gruppo che aveva le stesse dimensioni in lunghezza e larghezza e tutte le pianure della trinacria erano piene di quest\'ammassamento. I tori biondi e gli screziati insieme formavano un gruppo che , partendo da un elemento, si allargava progressivamentefino a formare una figura triangolare, senza che fossero presenti o assenti tori di altri colori.
<BR>Quando avrai trovato la soluzione e la avrai fatta tua, amico,indicando i numeri di questi gruppi, va\' e rallegrati della vittoria, e sappi per certo che sei arrivato al sommo grado in questa conoscenza\"...
archimede
Moderatore: tutor
No, seriamente, proviamo a risolverlo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>Magari di giorno eh? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>La soluzione del problema non è impossibile, è solo un po\' difficile per quel che riguarda i calcoli.
<BR>
<BR>Ovvio che \"difficile\" è un azzardato eufemismo.
<BR>
<BR>Allora forza, risolvete il problema dei buoi, se siete sapienti!!
<BR>Magari di giorno eh? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>La soluzione del problema non è impossibile, è solo un po\' difficile per quel che riguarda i calcoli.
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<BR>Ovvio che \"difficile\" è un azzardato eufemismo.
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<BR>Allora forza, risolvete il problema dei buoi, se siete sapienti!!
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publiosulpicio
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Non vorrei dire un\'enorme cazzata, ma mi sembra che in totale possano essere, al minimo 50389082 animali (buoi e vacche insieme). Questo porta alla seguente soluzione:
<BR>10366482 buoi bianchi
<BR>7206360 vacche bianche
<BR>7460514 buoi neri
<BR>4893246 vacche nere
<BR>4149387 buoi biondi
<BR>5439213 vacche bionde
<BR>7358060 buoi screziati
<BR>3515820 vacche screziate
<BR>
<BR>Questa è solo una delle infinite (forse) soluzioni, sono quasi sicuro che ce ne sia più di una, sto cercando il modo di trovarle tutte o di generalizzare...
<BR>ps posso ritenermi sapiente?
<BR>10366482 buoi bianchi
<BR>7206360 vacche bianche
<BR>7460514 buoi neri
<BR>4893246 vacche nere
<BR>4149387 buoi biondi
<BR>5439213 vacche bionde
<BR>7358060 buoi screziati
<BR>3515820 vacche screziate
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<BR>Questa è solo una delle infinite (forse) soluzioni, sono quasi sicuro che ce ne sia più di una, sto cercando il modo di trovarle tutte o di generalizzare...
<BR>ps posso ritenermi sapiente?
Questa è una soluzione intermedia, ottenuta senza considerare le restrizioni finali
<BR>Non ricordo le cifre esatte di quella soluzione, ma l\'ordine di grandezza c\'è ed anche le prime quattro (se mi ricordo bene) sono quelle del numero che hai scritto tu.
<BR>Il numero da te indicato sarebbe giusto (e il problema allora non avrebbe alcun interesse se non come esercizio numerico) se non fosse per la condizione che (t neri)+(t bianchi)=k^2 e (t biondi)+(t screziati)=numero triangolare.
<BR>La tua soluzione ti leva, secondo Archi, dalla schiera di ignoranti di matematica e incompetenti nel calcolo, ma certo ancora non ti eleva tra i sapienti. Insistoìi!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Non ricordo le cifre esatte di quella soluzione, ma l\'ordine di grandezza c\'è ed anche le prime quattro (se mi ricordo bene) sono quelle del numero che hai scritto tu.
<BR>Il numero da te indicato sarebbe giusto (e il problema allora non avrebbe alcun interesse se non come esercizio numerico) se non fosse per la condizione che (t neri)+(t bianchi)=k^2 e (t biondi)+(t screziati)=numero triangolare.
<BR>La tua soluzione ti leva, secondo Archi, dalla schiera di ignoranti di matematica e incompetenti nel calcolo, ma certo ancora non ti eleva tra i sapienti. Insistoìi!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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Anche se mi sento il solito idiota che parla da solo scrivo la soluzione completa:
<BR>si consideri innanzi tutto solo la prima parte, ignorando le condizioni sul numero quadrato e sul numero triangolare.
<BR>Le prime tre equazioni (suoi buoi) danno questa soluzione: m*(2226, 1602, 1580, 891) dove m è un intero positivo e i numeri tra parentesi rappresentano i possibili numeri di buoi, nell\'ordine citato nel problema.
<BR>Per le vacche la cosa è un po\' più complessa (anche se si trova la soluzione sempre con metodi piuttosto semplici), e intanto si scopre che m deve essere divisibile per 4657. Ponendo m=k*4657 si ha che ci possono essere k*(7206360, 4893246, 3515820, 5439213) vacche (la virgole serve a distinguere i diveris colori).Così abbiamo determinato tutte le (infinite) soluzioni intere positive della prima parte del problema. Il difficile deve ancora arrivare, infatti fino a qui è bastato risolvere un sistema, lungo, ma solo a causa dei grandi numeri, concettualemente semplice. Chiamiamo x,y,z,t il numero dei buoi dello stesso colore (l\'ordine è sempre quello del problema) e x\',y\',z\',t\' il numero delle vacche. Bisognerà trovare k in modo che x+y=4657*3828*k sia un quadrato e che z+t=4657*2471*k sia un numero triangolare. Il problema è dunque ora determinare k, una volta determinato è fatta! Consideriamo prima la prima (scusate il gioco di parole) equazione, e scomponiamola in fattori primi: si trova che essa è equivalente a dire che k=a*l^2 dove a=3*11*29*4657 e l è un qualsiasi intero positivo (in questo modo, qualunque sia l si ottiene un quadrato, infatti 4657*3828=2^2*3*11*29*4657 ). Passiamo ora alla seconda equazione: z+t è un numero triangolare se e solo se 8(z+t) + 1 è un quadrato; quindi abbiamo (dove h è un qualche intero positivo) h^2=8(z+t)+1=8*4657*2471*a*l^2+1. Che possiamo riscrivere come h^2=d*l^2+1 dove d=8*4657*2471*a=8*4657*2471*3*11*29*4657=2*3*7*11*29*2^2*4657^2 = 410286423278424.
<BR>Quella che abbiamo ottenuto è una così detta equazione di Pell e in virtù di un teroema di cui non ricordo ne il nome ne l\'autore possiamo dire che ammette infinite soluzioni. L\'eqazione che abbiamo ottenuto è decisamente mostruosa, possiamo per fortuna semplificarla un po\' osservando che d=410286423278424=(2*4657)^2*d\' [devo ammettere che questa semplificazione non l\'ho inventata io] dove d\'=4729494. Si ottiene, per sostituzione, che se la coppia (h,l) verifica l\'equazione h^2=d*l^2+1 allora la coppia (h,2*4567*l) verifica l\'equazione h^2=d\'*l=2. Quindi adesso abbiamo ridotto il problema a risolvere l\'equazione h^2=d\'*l^2 dove però l deve essere divisibile per 2*4567, in modo da poter ottenere la soluzione dell\'equazione con d. Trovare una soluzione di quest\'equazione non è eccissivamente difficile (se conoscono un po\' le equazioni di Pell, si ha h=109931986732829734979866232821433543901088049 e l=50549485234315033074477819735540408986340, chiamiamo il primo f e il secondo g, dopo torneranno in gioco, utilizzando ovviamente un calcolatore, purtroppo quese soluzioni non vanno bene, non essendo l divisibile per 2*4567) Per trovarlo bisogna fare un passo indietro, quando si è passati da d a d\': abbiamo detto che se (h,l) risolve l\'equazione con d allora (h,2*4657*l) risolve l\'equazione con d\', da qui si può dimostrare che, dette h e l le soluzioni dell\'equazioni con d e h\' e l\' quelle con d\' per un qualche n sia ha h+2*4657*l*sqrt(d\')=(h\'+l\'*sqrt(d\'))^n [in realtà il discorso è leggermente più complicato ma ho preferito tralasciare] si trova che h\'+l\'*sqrt(d\')=f+g*sqrt(d\') (dove f e g sono stati definiti sopra, qui basta una sostituzione per la verifica), chiamiamo u questo valore. Adesso bisogno trovare n in modo che h+l*sqrt(d)=u^n, e si trova che n=2329, come valore più piccolo. Adesso andando a sostituire si può risolvere tutto il problema, solo che u^n è un po\' grandicello....
<BR>ps: ora posso dirmi un sapiente?
<BR>si consideri innanzi tutto solo la prima parte, ignorando le condizioni sul numero quadrato e sul numero triangolare.
<BR>Le prime tre equazioni (suoi buoi) danno questa soluzione: m*(2226, 1602, 1580, 891) dove m è un intero positivo e i numeri tra parentesi rappresentano i possibili numeri di buoi, nell\'ordine citato nel problema.
<BR>Per le vacche la cosa è un po\' più complessa (anche se si trova la soluzione sempre con metodi piuttosto semplici), e intanto si scopre che m deve essere divisibile per 4657. Ponendo m=k*4657 si ha che ci possono essere k*(7206360, 4893246, 3515820, 5439213) vacche (la virgole serve a distinguere i diveris colori).Così abbiamo determinato tutte le (infinite) soluzioni intere positive della prima parte del problema. Il difficile deve ancora arrivare, infatti fino a qui è bastato risolvere un sistema, lungo, ma solo a causa dei grandi numeri, concettualemente semplice. Chiamiamo x,y,z,t il numero dei buoi dello stesso colore (l\'ordine è sempre quello del problema) e x\',y\',z\',t\' il numero delle vacche. Bisognerà trovare k in modo che x+y=4657*3828*k sia un quadrato e che z+t=4657*2471*k sia un numero triangolare. Il problema è dunque ora determinare k, una volta determinato è fatta! Consideriamo prima la prima (scusate il gioco di parole) equazione, e scomponiamola in fattori primi: si trova che essa è equivalente a dire che k=a*l^2 dove a=3*11*29*4657 e l è un qualsiasi intero positivo (in questo modo, qualunque sia l si ottiene un quadrato, infatti 4657*3828=2^2*3*11*29*4657 ). Passiamo ora alla seconda equazione: z+t è un numero triangolare se e solo se 8(z+t) + 1 è un quadrato; quindi abbiamo (dove h è un qualche intero positivo) h^2=8(z+t)+1=8*4657*2471*a*l^2+1. Che possiamo riscrivere come h^2=d*l^2+1 dove d=8*4657*2471*a=8*4657*2471*3*11*29*4657=2*3*7*11*29*2^2*4657^2 = 410286423278424.
<BR>Quella che abbiamo ottenuto è una così detta equazione di Pell e in virtù di un teroema di cui non ricordo ne il nome ne l\'autore possiamo dire che ammette infinite soluzioni. L\'eqazione che abbiamo ottenuto è decisamente mostruosa, possiamo per fortuna semplificarla un po\' osservando che d=410286423278424=(2*4657)^2*d\' [devo ammettere che questa semplificazione non l\'ho inventata io] dove d\'=4729494. Si ottiene, per sostituzione, che se la coppia (h,l) verifica l\'equazione h^2=d*l^2+1 allora la coppia (h,2*4567*l) verifica l\'equazione h^2=d\'*l=2. Quindi adesso abbiamo ridotto il problema a risolvere l\'equazione h^2=d\'*l^2 dove però l deve essere divisibile per 2*4567, in modo da poter ottenere la soluzione dell\'equazione con d. Trovare una soluzione di quest\'equazione non è eccissivamente difficile (se conoscono un po\' le equazioni di Pell, si ha h=109931986732829734979866232821433543901088049 e l=50549485234315033074477819735540408986340, chiamiamo il primo f e il secondo g, dopo torneranno in gioco, utilizzando ovviamente un calcolatore, purtroppo quese soluzioni non vanno bene, non essendo l divisibile per 2*4567) Per trovarlo bisogna fare un passo indietro, quando si è passati da d a d\': abbiamo detto che se (h,l) risolve l\'equazione con d allora (h,2*4657*l) risolve l\'equazione con d\', da qui si può dimostrare che, dette h e l le soluzioni dell\'equazioni con d e h\' e l\' quelle con d\' per un qualche n sia ha h+2*4657*l*sqrt(d\')=(h\'+l\'*sqrt(d\'))^n [in realtà il discorso è leggermente più complicato ma ho preferito tralasciare] si trova che h\'+l\'*sqrt(d\')=f+g*sqrt(d\') (dove f e g sono stati definiti sopra, qui basta una sostituzione per la verifica), chiamiamo u questo valore. Adesso bisogno trovare n in modo che h+l*sqrt(d)=u^n, e si trova che n=2329, come valore più piccolo. Adesso andando a sostituire si può risolvere tutto il problema, solo che u^n è un po\' grandicello....
<BR>ps: ora posso dirmi un sapiente?
Tanto di Cappello!!
<BR>Del resto , ribadisco che l\'unica difficoltà è il calcolo numerico della soluzione, un numero di buoi che non solo avrebbe ricoperto tutta la Trinacria, ma che forse avrebbe anche tracimato l\'estensione delle terre emerse!!
<BR>Credo comunque che gli antichi non conoscessero le soluzioni per frazione continua dell\'equazione di Pell e che quindi questo complicasse ulteriormente il problema. In definitiva, quel bel numerino ha più di 200 000 cifre, così ad occhio almeno!
<BR>Tempo fa avevo scritto un programma per calcolare quel numero e devo aver ancora da qualche parte il file con il risultato. Se lo trovo lo posto, così ti renderai conto di cosa volesse dire esattamente calcolare quel numero!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Del resto , ribadisco che l\'unica difficoltà è il calcolo numerico della soluzione, un numero di buoi che non solo avrebbe ricoperto tutta la Trinacria, ma che forse avrebbe anche tracimato l\'estensione delle terre emerse!!
<BR>Credo comunque che gli antichi non conoscessero le soluzioni per frazione continua dell\'equazione di Pell e che quindi questo complicasse ulteriormente il problema. In definitiva, quel bel numerino ha più di 200 000 cifre, così ad occhio almeno!
<BR>Tempo fa avevo scritto un programma per calcolare quel numero e devo aver ancora da qualche parte il file con il risultato. Se lo trovo lo posto, così ti renderai conto di cosa volesse dire esattamente calcolare quel numero!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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publiosulpicio
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L\'ho calcolato anch\'io... mi viene di ben 206545 cifre come totale di animali... un numero che inizia con 776027... se vai su <a href="http://modular.fas.harvard.edu/edu/Fall ... a_pell.pdf" target="_blank" target="_new">http://modular.fas.harvard.edu/edu/Fall ... ell.pdf</a> troverai un\'esposizione molto interessante e anche un elenco di tutte (sono infinite) soluzioni (ovviamente non sono davvero elencate...)