IMO 2005 carino

[exodd]

siano x,y,z, numeri reali positivi tali che $ xyz>=1 $
dimostrare che

$ \displaystile\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{z^5-z^2}{x^5+y^2+z^2}>=0 $

[Alex90]

Credo che il testo sia un po' sbagliato
Quello giusto è
$ \displaystyle\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2} \ge 0 $

[exodd]

scusa è vero

[Alex89]

[Qui una volta c'era una marea di conti totalmente inutile]

[Evelynn]

Dopo un po' di passaggi, sono arrivata ad avere la seconda disequazione come:

$ \frac {(x^2+y^2+z^2)(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+2(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)+3(x^2+y^2+z^2)^2)}{x^3y^3z^3+(x^2y^2z^2)(x^3z^3+x^3y^3+y^3z^3)+(x^2+y^2+z^2)^2(x^3+y^3+z^3)+(x^2+y^2+z^2)^3} $

il tutto minore o uguale a 3

(come si fa il minore uguale in Latex?)

[Haile]

Dopo un po' di passaggi, sono arrivata ad avere la seconda disequazione come:

$ \frac {(x^2+y^2+z^2)(x^3y^3+x^3z^3+y^3z^3+2(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)+3(x^2+y^2+z^2)^2)}{x^3y^3z^3+(x^2y^2z^2)(x^3z^3+x^3y^3+y^3z^3)+(x^2+y^2+z^2)^2(x^3+y^3+z^3)+(x^2+y^2+z^2)^3} $

il tutto minore o uguale a 3

(come si fa il minore uguale in Latex?)

Codice: Seleziona tutto

$a \geq b$

$ $a \leq b$ $

[Alex89]

a\geq è il segno di maggiore o uguale

$ a \geq b $

a \leq è il segno di minore o uguale

$ a \leq b $

[Alex90]

$ $ \frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2} \ge 0 $
$ $ \frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2} - 1 +\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2} - 1 +\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2} - 1 \ge -3 $
$ $ \sum_{cyc} \frac{x^5-x^2-(x^5+y^2+z^2)}{x^5+y^2+z^2} \ge -3 $
$ $ - \sum_{cyc} \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} \ge -3 $
$ $ \sum_{cyc} \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} \le 3 $

Ora usiamo Cauchy-Schwarz

$ $ x^2 + y^2 + z^2 = x^{\frac{5}{2}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} + y \cdot y + z \cdot z $

Quindi

$ $ \left (x^2 + y^2 + z^2 \right )^2 \le \left (x^5 + y^2 + z^2 \right ) \left (x^{-1} + y^2 + z^2 \right ) $

Inoltre se $ $ xyz \ge 1 \Rightarrow x^{-1} \le yz $

$ $ \left (x^2 + y^2 + z^2 \right )^2 \le \left (x^5 + y^2 + z^2 \right ) \left (x^{-1} + y^2 + z^2 \right ) $$ $ \le \left (x^5 + y^2 + z^2 \right ) \left (yz + y^2 + z^2 \right ) $

Da cui

$ $ \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} \le \frac{yz+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2} $

$ $ \sum_{cyc} \frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2} \le \sum_{cyc} \frac{yz+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2} $ che spero sia $ $ \le 3 $
$ $ \sum_{cyc} \frac{yz+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2} \le 3 $
$ $ \frac{xy+yz+zx+2(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2} \le 3 $
$ $ \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} + 2 \le 3 $
$ $ \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} \le 1 $
$ $ x^2+y^2+z^2 \ge xy + yz + zx $
$ $ \frac{1}{2} \sum_{sym} x^2 \ge \frac{1}{2} \sum_{sym} xy $
che è vera per Muirhead

[EvaristeG]

Muirhead ... o mamma ... quello è il riarrangiamento e un sacco di altre cose ... non è mai molto estetico cercare di abbattere a cannonate le farfalle.

[Alex90]

Eh lo so ma se adesso sto studiando quello mi viene meglio e soprattutto mi allena vagamente a quello...a parte questo si è vero è una cannonata quando basta una pistola ad acqua

[Alex90]

Rivisto il topic di sfuggita...facciamola pulita per fare contento EvaristeG

$ $x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx $

$ $2(x^2 + y^2 + z^2) \ge 2(xy + yz + zx) $

$ $x^2 - 2xy + y^2 + y^2 -2yz + z^2 + z^2 - 2zx + x^2 \ge 0 $

$ $ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \ge 0 $