OliForum Matematico

A causa di un’esplosione una sonda spaziale si spezza in tre parti schematizzabili
come punti materiali di massa rispettivamente m1, m2 e m3 che si
allontanano dalla posizione originale della sonda. Si assuma che una quantità
di energia U0 sia stata complessivamente ceduta ai tre frammenti sotto
forma di energia cinetica, mentre massa e velocità di frammenti più piccoli
e qualsivoglia altri residui dell’esplosione siano trascurabili. Si calcoli, al variare
delle possibili velocità (in direzione e modulo) delle tre parti, la massima
energia cinetica che può avere quella di massa m3.

Ho provato a farlo, e non mi pare impossibile, anzi . Tuttavia mi incasino sempre tra le migliaia di variabili che bisogna considerare .
ico1989, tu come lo risolveresti questo problema ?

Ok, ma prima dell'esplosione la sonda era ferma o in movimento?

Algebert ha scritto:Ho provato a farlo, e non mi pare impossibile, anzi . Tuttavia mi incasino sempre tra le migliaia di variabili che bisogna considerare .
ico1989, tu come lo risolveresti questo problema ?

C'ho pensato un pò su, ma non mi viene uno spunto forte; certamente conservazione della quantità di moto, però poi...

@ Rigel: Il testo parla di "posizone originale della sonda", dunque io prenderei la sonda ferma prima dell'esplosione. Certamente però non è molto chiaro...

l'importante e' che la sonda avesse moto uniforme prima, non che sia ferma o in moto. Questo per il principio dei sistemi inerziali. Consideri tutto a meno di $ $V_G$ $, velocita' del centro di massa. Di solito questi problemi si risolvono stando in un sistema di riferimento solidale col centro di massa e quindi considerando il sistema fermo.

SkZ ha scritto:l'importante e' che la sonda avesse moto uniforme prima, non che sia ferma o in moto. Questo per il principio dei sistemi inerziali. Consideri tutto a meno di $ $V_G$ $, velocita' del centro di massa. Di solito questi problemi si risolvono stando in un sistema di riferimento solidale col centro di massa e quindi considerando il sistema fermo.

Ci dai un "impulso"?

dato che non abbiamo forze esterne (sonda nello spazio), ergo sistema inerziale.
$ $\sum_{i=1}^{3}m_i\vec{v}_i=0$ $ (il perche' sceglietevelo voi tra i tanti)
$ $U_0=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{2}m_i v_i^2$ $

e conviene usare $ $\vec{v}_1\equiv (v_1,0)$ $, $ $\vec{v}_2\equiv (v_2,\alpha)$ $, $ $\vec{v}_3\equiv (v_3,\beta)$ $ (ovviamente essendo 3 corpi, i moti sono complanari).

niente di strano. La normale amministrazione.
Solo che 2 pezzi e' banale, 4 e' un macello.

@ SkZ:
il tuo ragionamento l'ho applicato anch'io (anzi, penso sia l'unico col quale si possa risolvere questo problema) tuttavia ho difficoltà a procedere, anche a causa della grande quantità di variabili con cui si ha a che fare.
E poi, è lecito assumere che l'angolo di uno dei pezzi con uno degli assi coordinati sia nullo (semplificherebbe di molto le cose), oppure bisogna introdurre per una maggior correttezza un terzo angolo $ \displaystyle \gamma $ ?

e' lecito. perche' per definire un sistema di riferimento tridimensionale a assi ortogonali ti servono 2 direzioni (la terza e' imposta dall'ortogonalita' e la trovi tramite prodotto vettoriale).
I moti avvengono su un piano, ergo la normale a questo fa da asse z.
Prendi come asse x quello su cui si muove uno dei corpi con steso verso della velocita'.

e poi passi a coordinate cilindriche.

Se pendi di dover mettere un angolo $ $\gamma$ $, ok. Ma poi io ti ruoto il sistema di riferimento di $ $\gamma$ $ portando la velocita' $ $\vec{v}_1$ $ parallela all'asse x.

SkZ ha scritto:Se pensi di dover mettere un angolo $ $\gamma$ $, ok. Ma poi io ti ruoto il sistema di riferimento di $ $\gamma$ $ portando la velocita' $ $\vec{v}_1$ $ parallela all'asse x.

Giusto, non ci avevo pensato ! Riprovo a farlo, se arrivo a qualche risultato posto il mio procedimento .

Allora ogni volta arrivo ad un'orribile equazione che lega le tre masse, le tre velocità e gli angoli $ \displaystyle \alpha $ e $ \displaystyle \beta $, ma non so come proseguire perchè ho un dubbio: posso considerarla semplicemente una funzione nella variabile $ \displaystyle v_3 $ (visto che è questa che permette di massimizzare l'energia cinetica del terzo pezzo) e mantenere tutto il resto costante, in modo da poterla derivare, porla uguale a 0 e così semplificare notevolente l'espressione ?
Aspetto una conferma o una smentita da qualcuno di voi !

Questo e' un problema totalemte aperto. Ogni velocita' e massa e' "indipendente" dalle altre (a parte le limitazioni fisiche che ti fissano di conseguenza 1 massa e una velocita'), perche' i loro valori dipendono da come si rompe l'oggetto e questo non ha restrizioni.

dal testo si evince che le masse e l'energia sono fissate e che devi usare come variabili le altre 2 velocita' e gli angoli.
In questo caso ti conviene mettere l'asse x lungo la traiettoria della particella 3 che e' in esame