Ecco un'altra coppietta di proprietà dalla non difficile dimostrazione.
1)Chiamiamo $ \tau(n) $ la funzione che associa ad n il numero di divisori di n: si dimostri che $ \sum_{d|n}{\tau^3d} =(\sum_{d|n}{\tau(d)})^2 $ dove d è variabile tra tutti i divisori di n.
2)Chiamando $ \sigma (n) $ la funzione che associa al naturale n la somma di tutti i suoi divisori dimostrare che se $ \sigma(n)=2n+1 $ allora n è un quadrato perfetto.
Per la cronaca: il 2 è un Putnam,ma ciò non vi spaventi, perchè è alquanto innocuo
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
Carlein ha scritto:Ecco un'altra coppietta di proprietà dalla non difficile dimostrazione.
1)Chiamiamo $ \tau(n) $ la funzione che associa ad n il numero di divisori di n: si dimostri che $ \sum_{d|n}{\tau^3d} =(\sum_{d|n}{\tau(d)})^2 $ dove d è variabile tra tutti i divisori di n.
qualche anima buona mi potrebbe spiegare questa scrittura?
e poi nella prima sommatoria la funzione $ \tau $ non dovrebbe essere seguito da qualcosa tra parentesi?
scusate l'ignoranza
Up! Dai, non saranno meravigliosi, ma nemmeno da buttare
Da qui in poi non leggere tu ipotetico utente che vorresti provare a risolvere senza hint:
1)quanto fa 1^3+2^3+....n^3?
2)ma quel n sembra così importante per la soluzione, e se invece non lo fosse?c'è qualcosa di più generale e dunque più semplice da osservare....
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anche a me aveva ricordato la regola valida per le sommatorie di interi: $ \sum {n^3}=(\sum {n})^2 $
ma da quello che ho capito li viene diversamente perche con i primi n=1,2,3
viene 1+3+3...
ma sicuramente ho sbagliato a leggere il testo
no vabbeh ho messo n nella sommatoria per dire generica variabile naturale, non mi riferivo al nostro n in particolare....cioè quella sommatoria non va usata "direttamente" sul numero n del testo,ma...(la legislazione degli hint mi impedisce di proseguire )
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sisi quello l'avevo capito
ma io il testo dell'es. uno lo ho capito cosi tradotto in linguaggio parlato:
la sommatoria dei cubi del numero dei divisori dei divisori di n è uguale al quadrato della sommatoria del numero dei divisori dei divisori di n.
lo so che è brutto
ma fino a tre-quattrocento anni fa si scrivevano cosi gli enunciati dei teoremi.
è giusto?
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Dato che ho una soluzione del 2 "che non fa uso nè di ordini moltiplicativi nè di cose derivanti da essa" la metto. Per l'1 penso di esserci arrivato in fondo ma è una roba lunghissima. Bisogna passare dal fatto che le sommatorie sono moltiplicative? (se non si può dire, vabè capitemi)
Ok, basta chiacchere...
Per il punto 2 dimostriamo che se $ n $ non è un quadrato perfetto allora $ \sigma(n)\neq2n+1 $
Se $ n $ è un numero dispari e non è un quadrato perfetto allora ha un numero pari di divisori dispari e pertanto la loro somma sarà pari.
Se $ n $ è pari lo riscriviamo come $ 2^kd $ e distinguiamo 2 casi:
(1) $ d $ non è un quadrato perfetto: allora siccome la funzione $ \sigma $ è moltiplicativa abbiamo che $ \sigma(2^k)\sigma(d) $ è pari in quanto è pari $ \sigma(d) $.
(2) $ d $ è un quadrato perfetto e a questo punto possiamo considerare solo il caso in cui $ k $ è dispari (se fosse pari allora n sarebbe un quadrato perfetto e a noi non interessa cosa fa): sappiamo che $ \sigma(2^k)=2^{k+1}-1 $. Si noti che questo numero è multiplo di 3 infatti scomponendo in differenza di quadrati otteniamo il prodotto di due numeri dispari consecutivi il cui numero pari "che ci sta in mezzo" è una potenza di 2 e quindi non un multiplo di 3 (oppure fai prima con i residui delle potenze di 2 modulo 3).
Quindi abbiamo che $ \sigma(2^k)\sigma(d) $ è multiplo di 3. Verifichiamo che $ 2n+1 $ cioè $ 2^{k+1}d+1 $ non può essere multiplo di 3: infatti $ 2^{k+1} \equiv 1 \pmod 3 $ (e qui i residui ci tocca usarli) e $ d $ non è congruo a 2 modulo 3 in quanto quadrato perfetto. Quindi $ 2n+1 $ non può essere multiplo di 3.
Così abbiamo escluso tutti i numeri che non sono quadrati perfetti e abbiamo concluso la dimostrazione.
) ma per lasciare spazio alle nuove leve evito di linkarli 
)
