Tutti lo sanno, ma...

[Pigkappa]

È dato un laccio inestensibile di lunghezza fissata $ \displaystyle l $. Si può piegare il laccio formando qualsiasi tipo di figure piane non intrecciate. Dimostrare che l'area massima che si può racchiudere è $ \displaystyle \frac{l^2}{4 \pi} $

[matteo16]

allora io l'ho dimostrato però non so se il concetto iniziale sia giusto.
si possono formare diverse figure piane non intrecciate.
le aree di queste figure sono funzioni di due variabili: per esempio, se si formasse con il laccio un rettangolo, l'area del suddetto sarà data dall'altezza formata da una parte del laccio e la base, formata anchessa da un'altra frazione di laccio. il fatto di usare due variabili(due frazioni del laccio) rende l'area minore di qualunque altra area calcolata utilizzando una sola variabile, e quindi più parte di laccio. l'unica figura piana la cui area si può calcolare da una sola variabile è il cerchio. se utilizziamo, quindi, il laccio per formare una circonferenza si ha:

$ 2\pi r= l $

quindi

$ r=\frac{l}{2\pi} $

l'area del cerchio è $ \pi r^2 $

quindi

$ S=\frac{\pi l^2}{4\pi^2} $ da cui si ha la tesi $ S=\frac{l^2}{4\pi} $

non sono bravo nelle dimostrazioni. quindi correggetemi.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

l'unica figura piana la cui area si può calcolare da una sola variabile è il cerchio.

il ragionamento non torna molto, poi questo non è vero, tutti i poligono regolari di numero di lati fissato hanno area che dipende solo dal perimetro

[Pigkappa]

Mi dispiace matteo16, ma è estremamente intuitivo che la risposta giusta sia il cerchio. Quello che vorrei venisse fuori è una dimostrazione formale.

Discorsi come:

le aree di queste figure sono funzioni di due variabili

Non hanno grande significato in una dimostrazione. Ad esempio, in una figura come quella che metto in allegato è abbastanza difficile individuare "due variabili".

Tu dici:

per esempio, se si formasse con il laccio un rettangolo, l'area del suddetto sarà data dall'altezza formata da una parte del laccio e la base, formata anchessa da un'altra frazione di laccio.

Ecco, è bene sottolineare che gli esempi non forniscono una dimostrazione. A parte questo, affermi anche:

il fatto di usare due variabili(due frazioni del laccio) rende l'area minore di qualunque altra area calcolata utilizzando una sola variabile, e quindi più parte di laccio.

Perchè due variabili rendono l'area minore di una variabile? Come si giustifica questo? Non mi pare sia un teorema noto... Questo fatto ti è estremamente utile, non puoi usarlo senza giustificarlo in qualche modo. [Consiglio: non provare a giustificarlo, comunque, perchè non ha grande senso come frase.]

l'unica figura piana la cui area si può calcolare da una sola variabile è il cerchio.

Non ne sarei così sicuro... Se vuoi ti faccio qualche altro esempio:
1)Il quadrato.
2)Il rettangolo aureo.
3)Il triangolo equilatero.
4)Il pentagono inscrivibile in una circonferenza tale che gli angoli $ \displaystyle \angle{XOY} $, dove X e Y sono due vertici vicini del pentagono e O è il centro della circonferenza circoscritta, formano una progressione aritmetica di ragione 10° ed elemento minore 52°.

Questi esempi dimostrano che la tua frase è falsa... (NOTA: i controesempi possono dimostrare che una frase generale è falsa, ma gli esempi non dimostrano che una frase generale è vera).

Tutto questo era solo per correggerti e non certo per polemicizzare... Spero che dal mio post imparerai qualcosa su come non si fanno le dimostrazioni .

[matteo16]

Mi dispiace matteo16, ma è estremamente intuitivo che la risposta giusta sia il cerchio. Quello che vorrei venisse fuori è una dimostrazione formale.

Discorsi come:

le aree di queste figure sono funzioni di due variabili

Non hanno grande significato in una dimostrazione. Ad esempio, in una figura come quella che metto in allegato è abbastanza difficile individuare "due variabili".

Tu dici:

per esempio, se si formasse con il laccio un rettangolo, l'area del suddetto sarà data dall'altezza formata da una parte del laccio e la base, formata anchessa da un'altra frazione di laccio.

Ecco, è bene sottolineare che gli esempi non forniscono una dimostrazione. A parte questo, affermi anche:

il fatto di usare due variabili(due frazioni del laccio) rende l'area minore di qualunque altra area calcolata utilizzando una sola variabile, e quindi più parte di laccio.

Perchè due variabili rendono l'area minore di una variabile? Come si giustifica questo? Non mi pare sia un teorema noto... Questo fatto ti è estremamente utile, non puoi usarlo senza giustificarlo in qualche modo. [Consiglio: non provare a giustificarlo, comunque, perchè non ha grande senso come frase.]

l'unica figura piana la cui area si può calcolare da una sola variabile è il cerchio.

Non ne sarei così sicuro... Se vuoi ti faccio qualche altro esempio:
1)Il quadrato.
2)Il rettangolo aureo.
3)Il triangolo equilatero.
4)Il pentagono inscrivibile in una circonferenza tale che gli angoli $ \displaystyle \angle{XOY} $, dove X e Y sono due vertici vicini del pentagono e O è il centro della circonferenza circoscritta, formano una progressione aritmetica di ragione 10° ed elemento minore 52°.

Questi esempi dimostrano che la tua frase è falsa... (NOTA: i controesempi possono dimostrare che una frase generale è falsa, ma gli esempi non dimostrano che una frase generale è vera).

Tutto questo era solo per correggerti e non certo per polemicizzare... Spero che dal mio post imparerai qualcosa su come non si fanno le dimostrazioni .

certo avete tutti e due pienamente ragione. adesso che rileggo la dimostrazione me ne accorgo

sì, che l'area massima che si può ottenere fosse quella del cerchio era intuitivo anche per me ma allora non saprei dimostrarlo.
comunque mi è servita molto la tua spiegazione. solo facendo errori si può imparare.
grazie

[Il_Russo]

Da quel che ne so una risposta rigorosa è recente ed è difficile (quindi da MNE), perché bisogna prima dimostrare che una figura di area massima esiste. Se prendiamo questo fatto per noto possiamo cercare di capire le caratteristiche di questa figura di area massima, e dopo alcune considerazioni (stavolta elementari) si arriva a vedere che solo il cerchio possiede queste caratteristiche. Allora buon $ lavoro^3 $.

In ordine le idee sono:
- Figura convessa
- Un segmento AB con gli estremi sul perimetro che divide a metà il perimetro divide a metà anche l'area
- L'angolo AOB, con AB come prima e O sul perimetro deve essere retto

[edriv]

Da quel che ne so una risposta rigorosa è recente ed è difficile (quindi da MNE), perché bisogna prima dimostrare che una figura di area massima esiste. Se prendiamo questo fatto per noto possiamo cercare di capire le caratteristiche di questa figura di area massima, e dopo alcune considerazioni (stavolta elementari) si arriva a vedere che solo il cerchio possiede queste caratteristiche. Allora buon $ lavoro^3 $.

La fatina è jamaicana, se ben ricordo!

[Desmo90]

secondo me si può procedere anche in un altro modo.
1)un poligono regolare ha area maggiore di qualunque poligono con lo stesso perimetro e con lo stesso numero di lati
2)all’aumentare del numero di lati, sempre restando fisso il perimetro, aumenta l’area del poligono regolare
3)se si considera il cerchio come un poligono regorale di infiniti lati allora si conclude che l’area del cerchio è maggiore dell’area di un qualunque poligono regolare con lo stesso perimetro; e quindi anche dell’area di un qualunque poligono anche irregolare ma con lo stesso perimetro

Forse sbaglio qualcosa?

[TBPL]

Così non dimostri che una figura che abbia il perimetro (tutto o in parte) curvo abbia area minore -o uguale- a quella del cerchio. (Esempio: il ghirigoro di Pigkappa)

[Desmo90]

Così non dimostri che una figura che abbia il perimetro (tutto o in parte) curvo abbia area minore -o uguale- a quella del cerchio. (Esempio: il ghirigoro di Pigkappa)

già è vero.

Però forse può bastare questa osservazione:

4)una qualsiasi figura curva, ma anche non curva è sempre approssimabile ad un poligono non regolare di infiniti lati, e quindi ha area minore del cerchio.

[Il_Russo]

La fatina è jamaicana, se ben ricordo!

L'approccio si trova anche su "Che cos'è la matematica?" assieme a quello dei poligoni di Desmo, tuttavia essendo un testo divulgativo la dimostrazione completa non c'è.

[edriv]

Una cosa... se una curva (sufficientemente liscia) di lunghezza 1 chiude un'area maggiore del cerchio di perimetro 1, non dovrebbe essere troppo difficile riuscire a trovare un poligono di perimetro minore della curva (che approssimi la curva) di area ancora maggiore del cerchio di perimetro 1, e quindi un poligono regolare di perimetro <1 di area maggiore del cerchio e quindi un assurdo?

Cioè, se uno volesse seguire questa strada, dove sarebbe il problema?

[matteo16]

ritento la dimostrazione.

allora:

tesi: si vuole dimostrare che il poligono non intrecciato di area massima, formato da un laccio inestensibile di lunghezza l, è un cerchio(il valore dell'area suddetta l'ho già dimostrato e come avete detto era semplice).

tra i poligoni convessi di $ n $ lati, quelli regolari hanno aree massime.
quindi consideriamo solo poligoni regolari.
ad ognuno di quest'ultimi può essere incritta una circonferenza di raggio $ r $ e circoscritta una di raggio $ R $.
abbiamo che $ R>r $
sappiamo che:

$ S=2pr $

dove $ S $ è l'area del poligono e $ 2p $ il perimetro.
quindi

$ S=lr $

in questo caso $ l $ è una costante.
quindi affinchè $ S $ aumenti, $ r $ deve aumentare.
ora, possiamo immaginarci, come già si è detto, una cerchio come un poligono di infiniti lati.
calcolo r in funzione di R, sapendo che ogni poligono regolare di n lati può essere triangolato da n triangoli isosceli avente base $ \frac {2p} {n} $ e lati $ R $:

$ r=sqrt (R^2 - \frac {l^2} {4n^2}) $

si vede che se n tende a infinito r tende ad R(sarebbe |R| ma R è sempre positivo) che è quindi il limite massimo.
a questo punto so che l è diventato $ 2\pi R $
sostituisco tale valore a

$ S=lR $ e trovo proprio il valore dell'area del cerchio che è quindi l'area massima.

spero sia andata meglio dell'altra volta.

[julio14]

Due osservazioni:

tra i poligoni convessi di $ $n $ lati, quelli regolari hanno aree massime.

questa affermazione andrebbe giustificata, è vero che sembra ovvia, ma anche il testo del problema lo sembra, e in tutta onestà io non ne ho mai vista una dimostrazione nè qua sul forum nè a scuola, quindi magari andrebbero spese un paio di paroline. In secondo luogo tralasci la possibilità che la figura non sia un poligono ma una curva, il che rende tutto abbondantemente più complicato... è facile parlare di aree e lunghezze finchè si tratta di poligoni, un po' meno se si tratta di una figura generica

EDIT: mi accorgo ora che desmo90 aveva dato sostanzialmente la stessa risposta, e che TBPL aveva fatto sostanzialmente le mie stesse obiezioni...

[matteo16]

Due osservazioni:

tra i poligoni convessi di $ $n $ lati, quelli regolari hanno aree massime.

questa affermazione andrebbe giustificata, è vero che sembra ovvia, ma anche il testo del problema lo sembra, e in tutta onestà io non ne ho mai vista una dimostrazione nè qua sul forum nè a scuola, quindi magari andrebbero spese un paio di paroline. In secondo luogo tralasci la possibilità che la figura non sia un poligono ma una curva, il che rende tutto abbondantemente più complicato... è facile parlare di aree e lunghezze finchè si tratta di poligoni, un po' meno se si tratta di una figura generica

certo per tutte le curve. ero convinto di aver letto poligoni. invece non diceva solo poligoni.
però se il quesito fosse stato di considerare solo i poligoni sarebbe andato bene?

per il fatto dell'area massima per poligoni regolari rispeto a quelli non regolari stavo proprio cercando di dimostrarlo adesso.

proverò a dimostrarlo per tutte le curve(magari usando gli integrali. anzi mi sembra l'unica soluzione visto che si parla di curve in generale).