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Il seguente è il terzo problema della Gara di Febbraio 2008:

a) Si hanno sette numeri interi positivi $ ~a $, $ ~b $, $ ~c $, $ ~d $, $ ~e $, $ ~f $, $ ~g $ tali che i prodotti $ ~ab $, $ ~bc $, $ ~cd $, $ ~de $, $ ~ef $, $ ~fg $, $ ~ga $ sono tutti cubi perfetti. Dimostrare che anche $ ~a $, $ ~b $, $ ~c $, $ ~d $, $ ~e $, $ ~f $, $ ~g $ sono cubi perfetti.

b) Si hanno sei numeri interi positivi $ ~a $, $ ~b $, $ ~c $, $ ~d $, $ ~e $, $ ~f $ tali che i prodotti $ ~ab $, $ ~bc $, $ ~cd $, $ ~de $, $ ~ef $, $ ~fa $ sono tutti cubi perfetti.
È sempre vero che $ ~a $, $ ~b $, $ ~c $, $ ~d $, $ ~e $, $ ~f $ sono tutti cubi perfetti?

Nota: si dice cubo perfetto un intero $ ~m $ tale che $ ~m=n^3 $ per qualche intero $ ~n $.

Io l'ho risolto così:

a) Pongo:

$ ~ab=x_1=y_1^3 $
$ ~bc=x_2=y_2^3 $
$ ~cd=x_3=y_3^3 $
$ ~de=x_4=y_4^3 $
$ ~ef=x_5=y_5^3 $
$ ~fg=x_6=y_6^3 $
$ ~ga=x_7=y_7^3 $

Moltiplico membro a membro:

$ \displaystyle a^2 b^2 c^2 d^2 e^2 f^2 g^2=(a b c d e f g)^2=\prod_{i=0}^7 y_i^3=\left(\prod_{i=0}^7 y_i\right)^3 $
Pongo $ ~ a b c d e f g = w $ e $ \displaystyle \prod_{i=0}^7 y_i=p $, l'uguaglianza precedente diventa:
$ \displaystyle w^2=p^3 $

Estraggo la radice quadrata di ambo i membri:

$ \displaystyle \sqrt{w^2}=\sqrt{p^3} $
$ \displaystyle w=p \sqrt{p} $

Ora, dato che $ ~w $ è un intero, allora anche $ ~\sqrt{p} $ sarà intero, quindi $ ~ p $ sarà un quadrato. Poniamo allora $ ~ p=q^2 $ e quindi:

$ \displaystyle w=q^2\sqrt{q^2}=q^2q=q^3 $

Quindi il prodotto $ ~ a b c d e f g=w $ è un cubo. Ora:

$ \displaystyle q^3=a b c d e f g $

So che $ ~ab=y_1^3 $, $ ~cd=y_3^3 $ e $ ~ef=y_5^3 $ sono cubi, quindi divido ambo i membri per $ ~a b c d e f=y_1^3y_3^3 y_5^3 $:

$ \displaystyle \frac{q^3}{y_1^3y_3^3y_5^3}=\left(\frac{q}{y_1y_3 y_5}\right)^3=g $

Quindi $ ~g $ è un cubo. Ora riprendo in mano l'uguaglianza precedente e dato che $ ~bc=y_2^3 $, $ ~de=y_4^3 $ e $ ~fg=y_6^3 $ sono cubi, posso dividere ambo i membri per $ ~b c d e f g=y_2^3y_4^3 y_6^3 $:

$ \displaystyle \frac{q^3}{y_2^3y_4^3y_6^3}=\left(\frac{q}{y_2y_4 y_6}\right)^3=a $

Quindi ho dimostrato che $ ~a $ è un cubo. Finora ho dimostrato che $ ~a $ e $ ~g $ sono cubi. Ora divido ambo i membri per $ ~ga=y_7^3 $, che è un cubo:

$ \displaystyle \frac{q^3}{y_7^3}=\left(\frac{q}{y_7}\right)^3=q'^3=b c d e f $

Ora, analogamente a prima, so che $ ~bc=y_2^3 $ e $ ~de=y_4^3 $ sono cubi, divido ambo i membri per $ ~b c d e=y_2^3y_4^3 $:

$ \displaystyle \frac{q'^3}{y_2^3y_4^3}=\left(\frac{q'}{y_2y_4}\right)^3=f $

E quindi anche $ ~f $ è un cubo, e via così, fino a dimostrare che anche $ ~d $ è un cubo.

b) Non è sempre vero perchè non riesco a dimostrare che le lettere singole sono cubi. Questo perchè nel primo problema avevo un numero di fattori dispari, nel secondo problema ho un numero di fattori pari. Nel primo problema riuscivo ad accoppiare le lettere consecutive a due a due e ne rimaneva una che era per forza un cubo. Iterando il procedimento più volte dimostravo che tutte le lettere erano cubi. Nel secondo problema, accoppiando le lettere a due a due, non ne avanza nessuna per la quale dimostrare che è un cubo. L'unica cosa che posso fare è dimostrare che i prodotti $ ~ace $, $ ~bdf $, $ ~cf $, $ ~ad $ e $ ~be $ sono cubi.

Va bene come dimostrazione? Secondo voi, quanti punti avrà preso?

Ciao!

La dimostrazione dell'a fila, anche se una volta arrivato a $ g $ io avrei detto "per gli altri vale lo stesso ragionamento" .
Mentre il b non mi pare una dimostrazione... il fatto che la dimostrazione dell'a non valga per il b, non vuol dire che esso sia falso.

La soluzione ufficiale ha scritto:Si assegnino complessivamente 8 punti per la soluzione della prima parte e 2 punti per la soluzione
della seconda.

Io direi 8

altrimenti, ipotesi: sono dati $ a,b \in N $ t.c. $ a \equiv b \equiv 1 \pmod 2 $.

a) data $ c_i $ una a-upla di interi positivi t.c. $ c_1c_2, c_2c_3, .. ., c_ac_1 $ sono potenze b-esime allora tutti i $ c_i $ sono potenze b-esime.

b) che succede se eliminiamo l'ipotesi ?


chi ammazza questa?
c) siano $ n,k \in N $ t.c. $ n > 2k > k > 1 $ e $ (n,k)=1 $. assumendo $ c_{n+m}=c_m $, sia assegnata una n-upla di $ c_i $ positivi t.c. $ \forall j \in [1,n] $ sia $ \displaystyle \prod_{i=j}^{j+k-1}{c_i} $ una potenza k-esima. allora tutti i $ c_i $ sono potenze k-esime.

d)che succede se eliminiamo l'ipotesi $ (n,k)=1 $ e la sostituiamo con "k non divide n"?

good work

Anche secondo me otto punti. Per il controesempio, direi che siamo esattamente in questo caso:

la soluzione ufficiale ha scritto:Si assegnino 0 punti a chi non fa altro che notare che la sua precedente dimostrazione del punto 1 non funziona più nel caso di sei interi.

Forse serve un po' di dimestichezza con le dimostrazioni (che non tutti a scuola vedono per bene) per rendersi conto che il modo migliore per ottenere quei due punti è scrivere esplicitamente un caso in cui la tesi è vera e l'ipotesi è falsa, per esempio a=c=e=2, b=d=f=4.

Jonny Tendenza ha scritto:Non è sempre vero perchè non riesco a dimostrare che le lettere singole sono cubi.

Nota Bene: probabilmente nessuno di noi sul forum riesce a dimostrare l'ultimo teorema di Fermat, ma non per questo è falso!

Un mio professore un po' stronzo una volta ha scritto:La vostra incompetenza nel produrre la dimostrazione di un teorema non può assurgere alla dignità di prova della falsità del medesimo.

ed aveva ragione...

fph ha scritto:il modo migliore per ottenere quei due punti è scrivere esplicitamente un caso in cui la tesi è vera e l'ipotesi è falsa, per esempio a=c=e=2, b=d=f=4.

Accidenti, e io che pensavo di cadere nel ridicolo scrivendo un caso senza dimostrare il fatto per una generica sestina.
Io avevo trovato $ ~a,e=3;b,d=9;c=24;f=72 $: volevo scriverlo, però poi ho desistito!

fph ha scritto:Forse serve un po' di dimestichezza con le dimostrazioni (che non tutti a scuola vedono per bene)

A dir la verità, le dimostrazioni a scuola non le ho proprio mai viste!
È un peccato che non si dedichi un po' di tempo a ciò. Ritengo che un teorema possa essere appreso meglio se viene dimostrato, perché così do un motivo valido per il quale una data formula debba esistere.

Ciao!