Ah, ecco...FrancescoVeneziano ha scritto:[...] L'osservazione chiave è la formula $ \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i(n-i)}=\frac{2}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i} $
Somma di una serie (facilotta) e dubbi riguardo le serie
Inoltre, un metodo alternativo (evoluzione dell’errore di segno precedente: peccato che così non ci stà la citazione di Aristotele):
H(inf)=1+1/2+1/3+1/4+1/5…= [1+1/3+1/5+1/7+1/9…]+ [1/2+1/4+1/6+…] =
> [1/2+1/4+1/6+1/8+…]+[1/2+1/4+1/6..] (il primo addendo viene minorato termine a termine) =
= 2*1/2 [1+1/2+1/3+…] = H(inf)
assurdo… dite che funzioni????
H(inf)=1+1/2+1/3+1/4+1/5…= [1+1/3+1/5+1/7+1/9…]+ [1/2+1/4+1/6+…] =
> [1/2+1/4+1/6+1/8+…]+[1/2+1/4+1/6..] (il primo addendo viene minorato termine a termine) =
= 2*1/2 [1+1/2+1/3+…] = H(inf)
assurdo… dite che funzioni????
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psion_metacreativo
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Ehm mi spiace ma non funziona perchè per le serie la proprietà commutativa vale solo se la serie è assolutamente convergente. Ieri sera avevo tralasciato questo aspetto che forse è già un po' più avanzato, però forse è meglio chiarire questa faccenda una volta per tutte.
Allora iniziamo come al solito con alcune definizioni:
Si dice riordinamento di una serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ una serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}b_{n} $ se esiste una funzione bigettiva $ g:\mathbb{N}\longmapsto\mathbb{N} $ tale che $ b_{n}=a_{g(n)} $
(Il senso di questa prima definizione sarà chiaro solo alla fine del messaggio)
Una serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ di termini qualunque (sia positivi che negativi) si dice assolutamente convergente se la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}|a_{n}| $ è convergente. Se una serie è convergente ma non assolutamente convergente si dice che è una serie condizionatamente convergente
Primo fatto: la serie dei valori assoluti si può trattare con tutto l'armamentario delle serie a termini non negativi.
Secondo fatto: L'assoluta convergenza implica la convergenza, il viceversa è falso.
Terzo fatto: Vale la seguente disuguaglianza: $ \displaystyle|\sum^{\infty}_{n=1}a_{n}|\leq\sum^{\infty}_{n=1}|a_{n}| $
Per studiare la convergenza assoluta fondamentalmente vi è un unico criterio: studiare il comportamento della sottosuccessione dei termini positivi e la sottosuccessione di quelli negativi. A tale scopo definiamo
$ \displaystyle\begin{math}\left\{\begin{array}{l} a^{+}_{n}=\frac{1}{2}(|a_{n}|+a_{n})\\\\a^{-}_{n}=\frac{1}{2}(|a_{n}|-a_{n}) \end{array}\end{math} $
da cui si ricava evidentemente anche:
$ \displaystyle\begin{math}\left\{\begin{array}{l} a_{n}=a^{+}_{n}-a^{-}_{n}\\\\|a_{n}|=a^{+}_{n}+a^{-}_{n} \end{array}\end{math} $
Vale il seguente
CRITERIO DI CONVERGENZA ASSOLUTA
La serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ è assolutamente convergente se e solo se le serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a^{+}_{n} $ e $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a^{-}_{n} $ sono entrambe convergenti.
Poichè vale anche la seguente proposizione:
Se la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ è condizionatamente convergente allora le serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a^{+}_{n} $ e $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a^{-}_{n} $ sono entrambe divergenti.
Si intuisce allora perchè la proprietà commutativa non debba valere: infatti le serie assolutamente convergenti hanno una convergenza di natura piuttosto "stabile" dato che convergono entrambe le serie dei loro termini positivi e dei termini negativi. Invece le serie condizionatamente convergenti hanno una convergenza piuttosto contingente dato che le serie dei loro termini positivi e negativi divergono entrambe, perciò cambiare l'ordine degli addendi in queste ultime serie può "spostare l'equilibrio" che si era creato tra le due componenti e produrre un risultto completamente diverso.
Per chiarire questo concetto è utile il seguente simpatico esempio (ciao Ale lo riconosci?):
Si dimostra (per il criterio di Leibniz) che la serie
$ \displaystyle1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}+\cdots $ è convergente a un numero reale S (i più curiosi provino a calcolarlo... anche se quando scriverò delle serie di potenze sarà immediato). Allora:
$ \displaystyle S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\cdots $
Moltiplicando ambo i membri di questa equazione per 1/2 otteniamo:
$ \displaystyle\frac{S}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\frac{1}{14}-\frac{1}{16}+\frac{1}{18}-\frac{1}{20}+\cdots $
Ora sommando membro a membro otteniamo:
$ \displaystyle\begin{math}\left\{\begin{array}{l} S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\cdots\\\frac{S}{2}=\ \ \ \ \frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ -\frac{1}{4}\ \ \ \ \ +\frac{1}{6}\ \ \ \ \ -\frac{1}{8}+\cdots\\\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\\frac{3S}{2}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}\cdots \end{array}\end{math} $
Cioè ma avete letto cosa ho scritto? L'ultima serie è esattamente quella di partenza con solo alcuni addendi cambiati di posto e dico che $ \displaystyle1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\cdots $ fa S e
$ \displaystyle1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}+\cdots $ fa 3S/2? dov'è l'errore?
RISPOSTA: L'errore è nella nostra testa che estende automaticamente la proprietà commutativa delle somme finite a somme infinite. Nell'esempio non c'è alcun errore, la seconda serie è effettivamente diversa dalla prima perchè cambiando l'ordine degli addendi il risultato cambia, questo perchè la serie iniziale è condizionatamente convergente (come qualcuno può divertirsi a provare).
Infatti in generale vale il teorema di Riemann che stabilisce:
Se una serie è condizionatamente convergente allora per ogni numero reale L esiste un riordinamento della serie data convergente a tale numero. Esistono riordinamenti divergenti positivamente, altri negativamente, altri ancora indeterminati.
D'altro canto la nostra ragione vacillante dopo questo risultato incredibile, può aggrapparsi al seguente teorema di Dirichlet:
Se una serie è assolutamente convergente allora ogni suo riordinamento è assolutamente convergente e hanno la stessa somma.
Fortuna che c'è ancora qualcosa di ragionevole al mondo...
Alla prossima. Giuseppe.
Allora iniziamo come al solito con alcune definizioni:
Si dice riordinamento di una serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ una serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}b_{n} $ se esiste una funzione bigettiva $ g:\mathbb{N}\longmapsto\mathbb{N} $ tale che $ b_{n}=a_{g(n)} $
(Il senso di questa prima definizione sarà chiaro solo alla fine del messaggio)
Una serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ di termini qualunque (sia positivi che negativi) si dice assolutamente convergente se la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}|a_{n}| $ è convergente. Se una serie è convergente ma non assolutamente convergente si dice che è una serie condizionatamente convergente
Primo fatto: la serie dei valori assoluti si può trattare con tutto l'armamentario delle serie a termini non negativi.
Secondo fatto: L'assoluta convergenza implica la convergenza, il viceversa è falso.
Terzo fatto: Vale la seguente disuguaglianza: $ \displaystyle|\sum^{\infty}_{n=1}a_{n}|\leq\sum^{\infty}_{n=1}|a_{n}| $
Per studiare la convergenza assoluta fondamentalmente vi è un unico criterio: studiare il comportamento della sottosuccessione dei termini positivi e la sottosuccessione di quelli negativi. A tale scopo definiamo
$ \displaystyle\begin{math}\left\{\begin{array}{l} a^{+}_{n}=\frac{1}{2}(|a_{n}|+a_{n})\\\\a^{-}_{n}=\frac{1}{2}(|a_{n}|-a_{n}) \end{array}\end{math} $
da cui si ricava evidentemente anche:
$ \displaystyle\begin{math}\left\{\begin{array}{l} a_{n}=a^{+}_{n}-a^{-}_{n}\\\\|a_{n}|=a^{+}_{n}+a^{-}_{n} \end{array}\end{math} $
Vale il seguente
CRITERIO DI CONVERGENZA ASSOLUTA
La serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ è assolutamente convergente se e solo se le serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a^{+}_{n} $ e $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a^{-}_{n} $ sono entrambe convergenti.
Poichè vale anche la seguente proposizione:
Se la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} $ è condizionatamente convergente allora le serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a^{+}_{n} $ e $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a^{-}_{n} $ sono entrambe divergenti.
Si intuisce allora perchè la proprietà commutativa non debba valere: infatti le serie assolutamente convergenti hanno una convergenza di natura piuttosto "stabile" dato che convergono entrambe le serie dei loro termini positivi e dei termini negativi. Invece le serie condizionatamente convergenti hanno una convergenza piuttosto contingente dato che le serie dei loro termini positivi e negativi divergono entrambe, perciò cambiare l'ordine degli addendi in queste ultime serie può "spostare l'equilibrio" che si era creato tra le due componenti e produrre un risultto completamente diverso.
Per chiarire questo concetto è utile il seguente simpatico esempio (ciao Ale lo riconosci?):
Si dimostra (per il criterio di Leibniz) che la serie
$ \displaystyle1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}+\cdots $ è convergente a un numero reale S (i più curiosi provino a calcolarlo... anche se quando scriverò delle serie di potenze sarà immediato). Allora:
$ \displaystyle S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\cdots $
Moltiplicando ambo i membri di questa equazione per 1/2 otteniamo:
$ \displaystyle\frac{S}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\frac{1}{14}-\frac{1}{16}+\frac{1}{18}-\frac{1}{20}+\cdots $
Ora sommando membro a membro otteniamo:
$ \displaystyle\begin{math}\left\{\begin{array}{l} S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\cdots\\\frac{S}{2}=\ \ \ \ \frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ -\frac{1}{4}\ \ \ \ \ +\frac{1}{6}\ \ \ \ \ -\frac{1}{8}+\cdots\\\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\\frac{3S}{2}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}\cdots \end{array}\end{math} $
Cioè ma avete letto cosa ho scritto? L'ultima serie è esattamente quella di partenza con solo alcuni addendi cambiati di posto e dico che $ \displaystyle1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\cdots $ fa S e
$ \displaystyle1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}+\cdots $ fa 3S/2? dov'è l'errore?
RISPOSTA: L'errore è nella nostra testa che estende automaticamente la proprietà commutativa delle somme finite a somme infinite. Nell'esempio non c'è alcun errore, la seconda serie è effettivamente diversa dalla prima perchè cambiando l'ordine degli addendi il risultato cambia, questo perchè la serie iniziale è condizionatamente convergente (come qualcuno può divertirsi a provare).
Infatti in generale vale il teorema di Riemann che stabilisce:
Se una serie è condizionatamente convergente allora per ogni numero reale L esiste un riordinamento della serie data convergente a tale numero. Esistono riordinamenti divergenti positivamente, altri negativamente, altri ancora indeterminati.
D'altro canto la nostra ragione vacillante dopo questo risultato incredibile, può aggrapparsi al seguente teorema di Dirichlet:
Se una serie è assolutamente convergente allora ogni suo riordinamento è assolutamente convergente e hanno la stessa somma.
Fortuna che c'è ancora qualcosa di ragionevole al mondo...
Alla prossima. Giuseppe.
Ultima modifica di psion_metacreativo il 12 giu 2005, 11:28, modificato 1 volta in totale.
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Ok, per la dim sulla divergenza della serie armonica chino il capo (magari si dimostra che si possono prendere comunque $ k $ termini consecutivi in modo che la loro somma sia $ 1 $)
Ora, per il limite su $ \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{1}{n} $ sommiamo parzialmente i termini a due a due, ottenendo $ \sum^{\infty}_{n=1}f_n=\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}.. $ che sarebbe pari alla serie di Mengoli (che ha limite uguale a $ 1 $, vero?) meno i termini della nostra serie partendo però da $ n=2 $.
Sia $ L $ il limite che cerchiamo e $ L_1 $ il limite della serie per $ n_0=2 $. Per le proprietà sui limiti $ L+L_1=1 $ (e a questo punto credo che anche qualcosa sulle serie che ricorrono allo stesso modo vada bene..)
Ora, per il limite su $ \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{1}{n} $ sommiamo parzialmente i termini a due a due, ottenendo $ \sum^{\infty}_{n=1}f_n=\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}.. $ che sarebbe pari alla serie di Mengoli (che ha limite uguale a $ 1 $, vero?) meno i termini della nostra serie partendo però da $ n=2 $.
Sia $ L $ il limite che cerchiamo e $ L_1 $ il limite della serie per $ n_0=2 $. Per le proprietà sui limiti $ L+L_1=1 $ (e a questo punto credo che anche qualcosa sulle serie che ricorrono allo stesso modo vada bene..)
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Si la Serie di mengoli ha limite 1, ma la serie data non è la serie di Mengoli sono solo i termini dispari della serie di Mengoli quindi non puoi sfruttare in alcun modo l'informazione che la serie di Mengoli ha somma uguale a 1.HumanTorch ha scritto:[...]$ \sum^{\infty}_{n=1}f_n=\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}.. $ che sarebbe pari alla serie di Mengoli (che ha limite uguale a $ 1 $, vero?)
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HumanTorch
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Human Sinceramente non ho capito cosa stai dicendo, cosa vuoi fare? Questa serie non ha nulla a che fare con la serie di Mengoli è poco più di una curiosità che la nostra serie sia formata dai termini dispari della serie di Mengoli. Ribadisco non vedo in alcun modo come tu possa sfruttare questo fatto, poi se mi mostri qualcosa che non conosco tanto meglio, ma personalmente sono piuttosto scettico su questa via...
mmm... per serie con termini positivi e negativi pare abb intuitivo, invece trovo scioccante il fatto che non funzioni con serie divergenti termini solo positivi...mah! questo infinito sfuggente! Psion, ma la tua prox lezione sarà sui polinomi di Taylor e compagnia? Stavo provando a capirci qualcosa ieri: un argomento carino!... a proposito, qualcuno posta la dim che la somma dei reciproci dei quadrati tende a pi^2/6 ?
aspe da quanto ho capito posso raggruppare a mio piacere se la serie (a termini esclusivamente positivi) è convergente (nel senso: se i termini positivi è automatico che sia anche assolutamente convergente)... Nella mia sol ho supposto per assurdo che fosse convergente ad H(inf), ho raggruppato (lecio per le ipotesi?) ed ho trovato un assurdo. Quindi le ipotesi erano errate e la serie è divergente... cosa ne pensi?????
Cmq provo anche un altro approccio ispirato da una recente lettura (mi stò divertendo!). confrontando la funzione integrale con una scaloide:
Sum[1-->n] 1/n >= int [1-->n+1] 1/x dx = ln(n+1)
essendo lim[n-->inf] ln(n+1) = inf la serie è divergente. mi bocci anche questa? (finora ne ho azzeccata solo una se non sbaglio
diamine!)
aspe da quanto ho capito posso raggruppare a mio piacere se la serie (a termini esclusivamente positivi) è convergente (nel senso: se i termini positivi è automatico che sia anche assolutamente convergente)... Nella mia sol ho supposto per assurdo che fosse convergente ad H(inf), ho raggruppato (lecio per le ipotesi?) ed ho trovato un assurdo. Quindi le ipotesi erano errate e la serie è divergente... cosa ne pensi?????
Cmq provo anche un altro approccio ispirato da una recente lettura (mi stò divertendo!). confrontando la funzione integrale con una scaloide:
Sum[1-->n] 1/n >= int [1-->n+1] 1/x dx = ln(n+1)
essendo lim[n-->inf] ln(n+1) = inf la serie è divergente. mi bocci anche questa? (finora ne ho azzeccata solo una se non sbaglio
diamine!)
Ultima modifica di info il 12 giu 2005, 15:47, modificato 1 volta in totale.
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Allora gente sperando che tutto quanto ho scritto finora sia stato di vostro gradimento e prima o poi possa tornarvi utile, concludo come promesso oggi l'ultima puntata sulle serie di potenze.
Prima di parlare delle serie di potenze vere e proprie termino la collezione degli strumenti utili per dimostrare la convergenza di una serie a termini non negativi con il:
CRITERIO DEL CONFRONTO INTEGRALE
Sia $ f:[1,\infty)\longmapsto\mathbb{R}^{+} $ una funzione decrescente. Allora l'integrale improprio: $ \displaystyle\int^{\infty}_{1}f(x)\:dx $ e la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}f(n) $ sono o entrambi convergenti o entrambi non convergenti.
Ho ritenuto opportuno inserire qui questo criterio anzichè nella prima mini-lezione perchè come si evince chiaramente è abbastanza tecnico perchè fa uso del calcolo integrale, e questo post sarò un po' più difficile del primo e richiederà già una certa conoscenza del calcolo infinitesimale.
Dunque una serie di potenze in $ x $ è una serie della forma:$ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}+\cdots $
con $ a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},\cdots $ numeri assegnati che si dicono coefficienti della serie, mentre $ x $ è una variabile. In generale una serie di potenze in $ x-c $ o attorno a $ x=c $ è una serie della forma: $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}(x-c)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\cdots+a_{n}(x-c)^{n}+\cdots $
Le serie in $ x $ hanno centro nell'origine, le serie in $ x-c $ hanno centro in $ c $.
Due osservazioni: 1) Io scriverò delle serie di potenze centrate in $ 0 $, però deve essere chiaro che tutto quello che seguirà ha un'ovvia generalizzazione per le serie di potenze attorno a $ x=c $.
2) E' importante notare che il primo termine di ogni serie di potenze è semplicemente il numero $ a_{0} $ questo per evitare lo spiacevole inconveniente di trovare $ a_{0}\cdot0^{0} $ come primo termine quando a $ x $ diamo il valore $ 0 $.
La cosa bella delle serie di potenze è la loro regolarità. Infatti vale il seguente teorema:
Se la serie di potenze $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}r^{n} $ (ove $ r\neq0 $) ha i termini limitati (in particolare se converge), allora la serie di potenze $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}x^{n} $ converge assolutamente per $ |x|<|r| $.
In virtù del precedente si dimostra il seguente teorema:
Data una serie di potenze $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}x^{n} $ si verifica uno e uno solo dei casi seguenti:
Si verifica cioè che sulla retta dei reali la regione di convergenza di una serie di potenze è simmetrica rispetto al loro centro. (che bello!
)
Ora quindi sappiamo tutto sulle serie di potenze l'unica cosa che rimane è trovare un modo per calcolare questo benedetto raggio di convergenza. Rileggendo attentamente il primo teorema sulle serie di potenze si capisce che alla fine occorre solo determinare per quali valori la nostra serie di potenze converge. Ma questo per gli $ x $ oltre il centro della serie (tanto poi per la simmetria dell'intervallo di convergenza sappiamo tutto anche degli $ x $ prima del centro della serie) noi lo sappiamo già fare. Si, perché per questi $ x $ la serie di potenze è una serie a termini non negativi e allora possiamo usare i nostri bei criteri di convergenza: il criterio del rapporto e il criterio della radice. Vale pertanto:
Data la serie di potenze $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}x^{n} $, se esiste finito e diverso da zero il limite $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=l $, oppure se esiste finito e diverso da zero il limite $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=l $ allora la serie di potenze ha raggio di convergenza $ R $ dato da $ \displaystyle R=\frac{1}{l} $.
Se i due limiti di sopra vengono uguali a $ 0 $ si pone per convenzione $ R=\infty $, se i due limiti vengono uguali a $ \infty $ si pone per convenzione $ R=0 $.
Per ogni serie di potenze entro il raggio di convergenza si può costruire una funzione $ f(x) $ che associa a ogni $ x $ la somma della serie. Si nota allora che per ogni serie di potenze $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}(x-c)^{n} $ si avrà necessariamente che $ f(x) $ possiede derivate di ogni ordine e $ \displaystyle a_{n}=\frac{f^{(n)}(c)}{n!} $.
Il viceversa in generale non è vero. Cioè non è detto che nel caso in cui $ f(x) $ ammetta in $ (a,b) $ derivate di ogni ordine, la somma $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^{n} $ con $ c\in(a,b) $ sia convergente e se, in tale caso, la sua somma è la funzione $ f(x) $ che ne "genera" i coefficienti. Quando ciò avviene si dirà che $ f(x) $ è sviluppabile in serie di Taylor (o di Mac Laurin nel caso in cui la serie sia centrata nell'origine) e la somma parziale n-esima si dirà polinomio di Taylor di ordine $ n $.
Concludo accennando a un utile modo per "moltiplicare" due serie tra loro.
Date due serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n} $, $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}b_{n} $ si dice che la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}c_{n} $, ove $ \displaystyle c_{n}=\sum^{n}_{k=0}a_{k}b_{n-k} $, è il loro prodotto di Cauchy.
Vale dunque il seguente teorma di Cauchy:
Se due serie convergono assolutamente a due numeri A e B, allora il loro prodotto di Cauchy è assolutamente convergente e ha per somma il prodotto AB delle somme.
Con questo io termino qui consapevole che sulle serie si potrebbe dire molto di più, per esempio le serie di potenze complesse, e conscio che quanto detto finora è stato necessariamente impreciso sulle definizioni e dimostrazioni, diciamo che voleva essere più una veduta generale d'insieme sulle serie più che vere e proprie lezioni che necessiterebbero di ben altro approfondimento. Sperando che abbiate trovato la questione interessante vi invito a postare commenti, suggerimenti, dubbi e richieste di chiarimenti.
Prima di parlare delle serie di potenze vere e proprie termino la collezione degli strumenti utili per dimostrare la convergenza di una serie a termini non negativi con il:
CRITERIO DEL CONFRONTO INTEGRALE
Sia $ f:[1,\infty)\longmapsto\mathbb{R}^{+} $ una funzione decrescente. Allora l'integrale improprio: $ \displaystyle\int^{\infty}_{1}f(x)\:dx $ e la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}f(n) $ sono o entrambi convergenti o entrambi non convergenti.
Ho ritenuto opportuno inserire qui questo criterio anzichè nella prima mini-lezione perchè come si evince chiaramente è abbastanza tecnico perchè fa uso del calcolo integrale, e questo post sarò un po' più difficile del primo e richiederà già una certa conoscenza del calcolo infinitesimale.
Dunque una serie di potenze in $ x $ è una serie della forma:$ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}+\cdots $
con $ a_{0},a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},\cdots $ numeri assegnati che si dicono coefficienti della serie, mentre $ x $ è una variabile. In generale una serie di potenze in $ x-c $ o attorno a $ x=c $ è una serie della forma: $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}(x-c)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\cdots+a_{n}(x-c)^{n}+\cdots $
Le serie in $ x $ hanno centro nell'origine, le serie in $ x-c $ hanno centro in $ c $.
Due osservazioni: 1) Io scriverò delle serie di potenze centrate in $ 0 $, però deve essere chiaro che tutto quello che seguirà ha un'ovvia generalizzazione per le serie di potenze attorno a $ x=c $.
2) E' importante notare che il primo termine di ogni serie di potenze è semplicemente il numero $ a_{0} $ questo per evitare lo spiacevole inconveniente di trovare $ a_{0}\cdot0^{0} $ come primo termine quando a $ x $ diamo il valore $ 0 $.
La cosa bella delle serie di potenze è la loro regolarità. Infatti vale il seguente teorema:
Se la serie di potenze $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}r^{n} $ (ove $ r\neq0 $) ha i termini limitati (in particolare se converge), allora la serie di potenze $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}x^{n} $ converge assolutamente per $ |x|<|r| $.
In virtù del precedente si dimostra il seguente teorema:
Data una serie di potenze $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}x^{n} $ si verifica uno e uno solo dei casi seguenti:
- 1) La serie converge solo per $ x=0 $.
2)La serie converge assolutamente per ogni $ x\in\mathbb{R} $
3)Esiste un numero $ R>0 $ tale che la serie converge assolutamente per $ |x|<R $
Si verifica cioè che sulla retta dei reali la regione di convergenza di una serie di potenze è simmetrica rispetto al loro centro. (che bello!
)Ora quindi sappiamo tutto sulle serie di potenze l'unica cosa che rimane è trovare un modo per calcolare questo benedetto raggio di convergenza. Rileggendo attentamente il primo teorema sulle serie di potenze si capisce che alla fine occorre solo determinare per quali valori la nostra serie di potenze converge. Ma questo per gli $ x $ oltre il centro della serie (tanto poi per la simmetria dell'intervallo di convergenza sappiamo tutto anche degli $ x $ prima del centro della serie) noi lo sappiamo già fare. Si, perché per questi $ x $ la serie di potenze è una serie a termini non negativi e allora possiamo usare i nostri bei criteri di convergenza: il criterio del rapporto e il criterio della radice. Vale pertanto:
Data la serie di potenze $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}x^{n} $, se esiste finito e diverso da zero il limite $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=l $, oppure se esiste finito e diverso da zero il limite $ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=l $ allora la serie di potenze ha raggio di convergenza $ R $ dato da $ \displaystyle R=\frac{1}{l} $.
Se i due limiti di sopra vengono uguali a $ 0 $ si pone per convenzione $ R=\infty $, se i due limiti vengono uguali a $ \infty $ si pone per convenzione $ R=0 $.
Per ogni serie di potenze entro il raggio di convergenza si può costruire una funzione $ f(x) $ che associa a ogni $ x $ la somma della serie. Si nota allora che per ogni serie di potenze $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n}(x-c)^{n} $ si avrà necessariamente che $ f(x) $ possiede derivate di ogni ordine e $ \displaystyle a_{n}=\frac{f^{(n)}(c)}{n!} $.
Il viceversa in generale non è vero. Cioè non è detto che nel caso in cui $ f(x) $ ammetta in $ (a,b) $ derivate di ogni ordine, la somma $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^{n} $ con $ c\in(a,b) $ sia convergente e se, in tale caso, la sua somma è la funzione $ f(x) $ che ne "genera" i coefficienti. Quando ciò avviene si dirà che $ f(x) $ è sviluppabile in serie di Taylor (o di Mac Laurin nel caso in cui la serie sia centrata nell'origine) e la somma parziale n-esima si dirà polinomio di Taylor di ordine $ n $.
Concludo accennando a un utile modo per "moltiplicare" due serie tra loro.
Date due serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}a_{n} $, $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}b_{n} $ si dice che la serie $ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}c_{n} $, ove $ \displaystyle c_{n}=\sum^{n}_{k=0}a_{k}b_{n-k} $, è il loro prodotto di Cauchy.
Vale dunque il seguente teorma di Cauchy:
Se due serie convergono assolutamente a due numeri A e B, allora il loro prodotto di Cauchy è assolutamente convergente e ha per somma il prodotto AB delle somme.
Con questo io termino qui consapevole che sulle serie si potrebbe dire molto di più, per esempio le serie di potenze complesse, e conscio che quanto detto finora è stato necessariamente impreciso sulle definizioni e dimostrazioni, diciamo che voleva essere più una veduta generale d'insieme sulle serie più che vere e proprie lezioni che necessiterebbero di ben altro approfondimento. Sperando che abbiate trovato la questione interessante vi invito a postare commenti, suggerimenti, dubbi e richieste di chiarimenti.
Ultima modifica di psion_metacreativo il 12 giu 2005, 15:44, modificato 2 volte in totale.
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psion_metacreativo
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Completo il bestiario che avevo precedentemente iniziato:
Serie di potenze con raggio di convergenza $ R=\infty $ (provate a dimostrarlo):
1) $ \displaystyle e^{x}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^{n}}{n!} $
2) $ \displaystyle \sin{x}=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $
3) $ \displaystyle \cos{x}=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} $
Serie di potenze con raggio di convergenza $ R=1 $ (dimostrate anche questo raggio):
4) $ \displaystyle\arctan{x}=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} $
5) $ \displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum^{\infty}_{n=0}x^{n} $ (non riconoscete nulla del precedente bestiario?)
6) derivando la 5) K volte si ottiene $ \displaystyle\frac{k!}{(1-x)^{k+1}}=\sum^{\infty}_{n=0}\prod^{n+k}_{j=n+1}jx^{n} $
7) sostituendo x con -x e integrando la 5) diventa $ \displaystyle\ln{1+x}=\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n} $
Questa è molto carina
definendo il binomiale generalizzato così: $ \displaystyle\forall\alpha\in\mathbb{R},\forall n\in\mathbb{N}\ \ \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha\cdot(\alpha-1)\cdot(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} $
allora
$ \displaystyle (1+x)^{\alpha}=\sum^{\infty}_{n=0}\binom{\alpha}{n}x^{n} $ sembra il binomio di Newton generalizzato...
Ora divertitevi a comporle nei peggio modi si sa che la perversione umana non ha limite...
Serie di potenze con raggio di convergenza $ R=\infty $ (provate a dimostrarlo):
1) $ \displaystyle e^{x}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^{n}}{n!} $
2) $ \displaystyle \sin{x}=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $
3) $ \displaystyle \cos{x}=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} $
Serie di potenze con raggio di convergenza $ R=1 $ (dimostrate anche questo raggio):
4) $ \displaystyle\arctan{x}=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} $
5) $ \displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum^{\infty}_{n=0}x^{n} $ (non riconoscete nulla del precedente bestiario?)
6) derivando la 5) K volte si ottiene $ \displaystyle\frac{k!}{(1-x)^{k+1}}=\sum^{\infty}_{n=0}\prod^{n+k}_{j=n+1}jx^{n} $
7) sostituendo x con -x e integrando la 5) diventa $ \displaystyle\ln{1+x}=\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n} $
Questa è molto carinadefinendo il binomiale generalizzato così: $ \displaystyle\forall\alpha\in\mathbb{R},\forall n\in\mathbb{N}\ \ \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha\cdot(\alpha-1)\cdot(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!} $
allora
$ \displaystyle (1+x)^{\alpha}=\sum^{\infty}_{n=0}\binom{\alpha}{n}x^{n} $ sembra il binomio di Newton generalizzato...
Ora divertitevi a comporle nei peggio modi si sa che la perversione umana non ha limite...
Ultima modifica di psion_metacreativo il 16 giu 2005, 13:02, modificato 3 volte in totale.
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psion_metacreativo
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si se mi dai il tempo di scriverlainfo ha scritto:mmm... per serie con termini positivi e negativi pare abb intuitivo, invece trovo scioccante il fatto che non funzioni con serie divergenti termini solo positivi...mah! questo infinito sfuggente! Psion, ma la tua prox lezione sarà sui polinomi di Taylor e compagnia? Stavo provando a capirci qualcosa ieri: un argomento carino!
...
delego a qualcun altro il compito dato che io non ho le conoscenze adatte...info ha scritto: a proposito, qualcuno posta la dim che la somma dei reciproci dei quadrati tende a pi^2/6
Si formulata così può andare perchè se ho capito bene la logica di quello cha hai dimostrato te è la seguente: Suppongo che H(n) sia assolutamente convergente, inciucio trovo un assurdo, quindi H non è assolutamente convergente, siccome h è a termini positivi la convergenza assoluta è equivalente alla convergenza, in conclusione H non è convergente, e sempre perché è a termini positivi non è indeterminata ma diverge necessariamente.info ha scritto: aspe da quanto ho capito posso raggruppare a mio piacere se la serie (a termini esclusivamente positivi) è convergente (nel senso: se i termini positivi è automatico che sia anche assolutamente convergente)... Nella mia sol ho supposto per assurdo che fosse convergente ad H(inf), ho raggruppato (lecio per le ipotesi?) ed ho trovato un assurdo. Quindi le ipotesi erano errate e la serie è divergente... cosa ne pensi?????
Si l'ho enunciato or ora il confronto integraleinfo ha scritto: Cmq provo anche un altro approccio ispirato da una recente lettura (mi stò divertendo!). confrontando la funzione integrale con una scaloide:
Sum[1-->n] 1/n >= int [1-->n+1] 1/x dx = ln(n+1)
essendo lim[n-->inf] ln(n+1) = inf la serie è divergente. mi bocci anche questa? (finora ne ho azzeccata solo una se non sbaglio
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psion_metacreativo
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Calcolatelo a questo punto avete tutti i mezzi anche per godervi la soluzione di francesco Veneziano sulla serie che ho proposto all'inizio, ormai bambini siete cresciuti...psion_metacreativo ha scritto:[...]Si dimostra (per il criterio di Leibniz) che la serie
$ \displaystyle1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}+\cdots $ è convergente a un numero reale S (i più curiosi provino a calcolarlo... anche se quando scriverò delle serie di potenze sarà immediato).
Giusto per completezza prima o poi posto anche la mia soluzione della serie iniziale magari può esservi utile...
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psion_metacreativo
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Calcolatelo a questo punto avete tutti i mezzi anche per godervi la soluzione di francesco Veneziano sulla serie che ho proposto all'inizio, ormai bambini siete cresciuti...psion_metacreativo ha scritto:[...]Si dimostra (per il criterio di Leibniz) che la serie
$ \displaystyle1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}+\cdots $ è convergente a un numero reale S (i più curiosi provino a calcolarlo... anche se quando scriverò delle serie di potenze sarà immediato).
Giusto per completezza prima o poi posto anche la mia soluzione della serie iniziale magari può esservi utile...
La tua serie è riportata uguale sul libro di Va sup di mio fratello (classe 1982) insieme a quella dell'arctgx, anche se non sul mio!!! Ergo lascio il compito a qualcun altro... ma più che altro volevo dirvi di non disturbarvi per la serie dei quadrati (cmq sei gentilissimo, psion!): ho fatto qualche ricerca sulla rete e la sol che ho trovato si basa sullo sviluppo in serie di Taylor di sen(x)/x e sulle proprietà dei polinomi di Viète...credo di averla anche capita certo che se vi sono anche altri metodi nessuno vi vieta di postarli!
certo che se vi sono anche altri metodi nessuno vi vieta di postarli![quote="psion_metacreativo"]
Si dimostra (per il criterio di Leibniz) che la serie
[tex]\displaystyle{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}+\cdots}[/tex] è convergente a un numero reale S (i più curiosi provino a calcolarlo... anche se quando scriverò delle serie di potenze sarà immediato).[/quote]
ehm.. a dir la verità non è così immediato...
c'è di mezzo un teorema (di abel) che garantisce che se una serie [tex]\sum_n a_n x^n[/tex] di potenze, con raggio di convergenza [tex]1[/tex], tale che la serie [tex]\sum_n a_n[/tex] esista, allora [tex]\lim_{x\leftrightarrow 1^-} \sum_n a_n x^n = \sum_n a_n[/tex]...
e la dimostrazione non è così banale
ps. che ha latex? mi tocca scriverlo senza codice..
Si dimostra (per il criterio di Leibniz) che la serie
[tex]\displaystyle{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}+\cdots}[/tex] è convergente a un numero reale S (i più curiosi provino a calcolarlo... anche se quando scriverò delle serie di potenze sarà immediato).[/quote]
ehm.. a dir la verità non è così immediato...
c'è di mezzo un teorema (di abel) che garantisce che se una serie [tex]\sum_n a_n x^n[/tex] di potenze, con raggio di convergenza [tex]1[/tex], tale che la serie [tex]\sum_n a_n[/tex] esista, allora [tex]\lim_{x\leftrightarrow 1^-} \sum_n a_n x^n = \sum_n a_n[/tex]...
e la dimostrazione non è così banale
ps. che ha latex? mi tocca scriverlo senza codice..