diofantea febbraiesca

[bestiedda]

trovare le soluzioni intere positive dell'equazione


$ $x^x - 2^x - x^2=10 $

[Fedecart]

$ x=3 $
ed è anche unica

[bestiedda]

$ x=3 $
ed è anche unica

ok ora la dimostrazione

[kn]

dimostro che se x > 3 allora $ x^x-2^x>x^2+10 $
$ x^x-2^x\ge x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)\ge x^2+2x+4\ge x^2+2\cdot 3+4\ge x^2+10 $,
con ogni possibile uguaglianza se e solo se x = 3, quindi 3 è una soluzione
Se x < 3 $ x^x-2^x \le 2^x-2^x = 0 $, minore del secondo membro che è certamente positivo.

[Fedecart]

dimostro che se x > 3 allora $ x^x-2^x>x^2+10 $
$ x^x-2^x\ge x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)\ge x^2+2x+4\ge x^2+2\cdot 3+4\ge x^2+10 $,
con ogni possibile uguaglianza se e solo se x = 3, quindi 3 è una soluzione
Se x < 3 $ x^x-2^x \le 2^x-2^x = 0 $, minore del secondo membro che è certamente positivo.

Stesso mio procedimento! Mi hai battuto sul tempo, non ho ce l'ho fatta a postarlo!