Uno!

[mod_2]

Si determino tutte le terne (x, y, z) di interi positivi che verificano le condizioni:
$ \begin{cases} yz \equiv -1 \pmod x\\ xz \equiv -1 \pmod y\\ xy \equiv -1 \pmod z\\ \end{cases} $
Buon Lavoro

[Enrico Leon]

A me pare che non ci sia nessuna soluzione...

[Fedecart]

2,3,7 è una soluzione! Quindi almeno una c'è

[julio14]

Volendo cadere nella banalità più estrema, anche 1,1,1 e 1,1,2 funzionano

[Fedecart]

aspè allora non ho capito io una cosa... Tutti i numeri sono congruenti a zero modulo 1? A rigor di logica si perchè uno divide tutti... Ma allora come fa uno a essere congruo a meno uno mod1?

[SkZ]

in generale $ ~a\equiv b \pmod{1}\quad \forall a,b\in\mathbb{Z} $, dato che $ ~a-b $ e' sempre divisibile per 1
"congruo modulo x" vuol dire che la loro differenza e' multiplo di x, non che uno e' il resto dell'altro nella divisione per x

[mod_2]

Volendo si può riscrivere così:
$ \begin{cases} x|yz+1\\ y|xz+1\\ z|xy+1\\ \end{cases} $
adesso non dovrebbe creare problemi...

Bonus question: vi chiedo troppo se togliessi la parola "positivi" dalla consegna?

[Enrico Leon]

Ma perché il titolo del topic è "Uno!"?

[mod_2]

Perché svolgendolo ti accorgerai che è uno dei passaggi fondamentali della soluzione

ps. per il bonus question credo che ci siano molte più complicazioni di quanto immaginavo...

[Fedecart]

"congruo modulo x" vuol dire che la loro differenza e' multiplo di x, non che uno e' il resto dell'altro nella divisione per x

Ma non è la stessa cosa?
Cioè
$ 8 \equiv 2 \pmod3 $
vuol dire che 8-2 è divisibile per tre, ma anche che il resto della divisione di 8 per 3 è 2!

[SkZ]

$ ~1111\equiv 1234 \pmod{3} $, ma di certo uno non e' il resto dell'altro

[Fedecart]

Capito. Finora le avevo sempre considerate come resti!!

[EUCLA]

Capito. Finora le avevo sempre considerate come resti!!

Vale solo per i rappresentanti minimi. Prendi $ a\equiv n \pmod{b} $.
$ n $ è il resto della divisione di $ a $ per $ b $ se $ 0\le n<\vert b\vert $.

I concetti di resto e congruenza sono collegati, ma pensa al fatto che il resto della divisione tra due numeri è unico, gli $ n $ a cui $ a $ è congruo, dato $ b $, invece sono infiniti.

[Inkio]

Mmmh..potrebbe darsi che per far funzionare la cosa, almeno 2 tra x,y,z dovranno essere congrui a -1 modulo l'altro?.....faccio un'esempio perchè sembra arabo quello che ho detto...
Voglio dire che se $ x=-1 mod y $ allora per far funzionare tutto$ y=-1 mod x $?..se fosse così allora funzionerebbe solo la terna 2,3,7...se non sbaglio..bisogna dimostrare però che è veramente così....