tangenti in Z
tangenti in Z
Trovare tutti i triangoli tali che tutte le tangenti dei loro angoli siano intere.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
con la tilde e' l'insieme "normale" con aggiunti gli infiniti. generalmente si usa coi reali o i complessi
$ ~\tilde{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty,+\infty\} $
ovvero se $ ~\tilde{\mathbb{Z}} $ possiamo includere anche il triangolo rettangolo isoscele ponendo $ ~\tan{\frac{\pi}{2}}=+\infty $, che in questo insieme e' possibile.
Si, solo una picchiataggine matematica in questo caso.
$ ~\tilde{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty,+\infty\} $
ovvero se $ ~\tilde{\mathbb{Z}} $ possiamo includere anche il triangolo rettangolo isoscele ponendo $ ~\tan{\frac{\pi}{2}}=+\infty $, che in questo insieme e' possibile.
Si, solo una picchiataggine matematica in questo caso.
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Hint
http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html formula 19
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Commento sull'hintSkZ ha scritto:Hinthttp://mathworld.wolfram.com/Tangent.html formula 19
Io credo la 9 possa bastare
Lo stato in cui mi trovo:
Avevo già pensato alla nota formuletta tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC, e so che le uniche soluzioni in interi positivi sono tan(A)=1, tan(B)=2 e tan(C)=3 e relative permutazioni (poi allargando il campo a Z si aggiungono altre soluzioni, tutte piuttosto banali da trovare). Se non ho postato è perchè non so come accidenti dimostrarlo e la tecnica dimostrativa presentata nella firma di julio90 ("Nessuno, ma chi se ne fotte") non mi si confà
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös
Visto che si sta degenerando io scrivo la mia soluzione... chi non vuole leggere non legga (il bianco scoccia dopo un po':lol: )
Uno dei tre angoli deve essere minore o uguale della media aritmetica, ossia 60°. L'unico angolo avente tangente intera e minore o uguale di 60° è 45°, ossia tangente pari a 1 (si vede anche perchè $ tg 60° < 2 $. Quindi un angolo è di 45° gradi.
Ora chiamo i due angoli $ \alpha,\beta $, allora avremo dalla ormai nota formula 9 che
$ \displaystyle tg \beta=-\frac{1+tg \alpha}{1-tg \alpha} $
Poichè $ tg \alpha $ è intero ottengo che $ tg \alpha=0,-1,2,3 $...
escludendo i primi due casi perchè sono triangoli degeneri, ho due soluzioni, riducibili per verifica diretta a questa: $ (45°,arctg 2,arctg 3) $
Uno dei tre angoli deve essere minore o uguale della media aritmetica, ossia 60°. L'unico angolo avente tangente intera e minore o uguale di 60° è 45°, ossia tangente pari a 1 (si vede anche perchè $ tg 60° < 2 $. Quindi un angolo è di 45° gradi.
Ora chiamo i due angoli $ \alpha,\beta $, allora avremo dalla ormai nota formula 9 che
$ \displaystyle tg \beta=-\frac{1+tg \alpha}{1-tg \alpha} $
Poichè $ tg \alpha $ è intero ottengo che $ tg \alpha=0,-1,2,3 $...
escludendo i primi due casi perchè sono triangoli degeneri, ho due soluzioni, riducibili per verifica diretta a questa: $ (45°,arctg 2,arctg 3) $