Easy inequality

[jordan]

Siano dati $ (x,y) \in \mathbb{R}^2 $ tali che $ x-2\sqrt{x+1}=\sqrt{y+9}-y $. Quanto vale al massimo $ x+y $?

[Enrico Leon]

È un po' lungo spiegare come ho fatto... È giusto 15?

[jordan]

Mmmm..un esempio di coppia $ (x,y) $ con somma 15 che rispetta l'ipotesi l'hai trovata?

[Enrico Leon]

No, no, ho sbagliato tutto!! Viene $ 10 $ con $ x=15,y=-5 $. Ok?

[jordan]

E adesso vediamo la dimostrazione

[Enrico Leon]

Più o meno così: $ x+y=n $ e quindi $ y=n-x $.
Sostituendo viene: $ n-\sqrt{n-x+9}-2\sqrt{x+1}=0 $.
Risolvendo viene: $ x=\frac{1}{25}(3n^2+5n\pm4\sqrt{-n^4+5n^3+50n^2}+25) $.
Quindi deve essere il radicando non negativo.
Quindi viene: $ -5\leq n\leq10 $.
Da cui $ n=10 $.

[jordan]

vediamo se funziona anche con questo..
Dato $ \vec{a}=(a_1,a_2,a_3,a_4)>\vec{0}, \vec{a} \in \mathbb{R}^4 $ e dati $ (x,y) \in \mathbb{R}^2 $ tali che $ x-a_1\sqrt{x+a_2}=a_3\sqrt{y+a_4}-y $, quanto vale al massimo $ x+y $?

[Enrico Leon]

Si pone $ x+y=n $, si fanno tutti i conti di prima e si trova:
$ n=\frac{1}{2}[a_1^2+a_3^2+\sqrt{(a_1^2+a_3^2)(a_1^2+a_3^2+4a_2+4a_4)}] $.

[edriv]

Dato $ \vec{a}=(a_1,a_2,a_3,a_4)>\vec{0}, \vec{a} \in \mathbb{R}^4 $

... ma sei sicuro di sapere quello che scrivi?

[jordan]

perche?

[SkZ]

perche' le relazioni di ordinamento non sono banali in piu' dimensioni.
Che intendi che un vettore e' maggiore del vettore nullo?
(tse', economisti)

[jordan]

perche' le relazioni di ordinamento non sono banali in piu' dimensioni.
Che intendi che un vettore e' maggiore del vettore nullo?
(tse', economisti)

La relazione d'ordine vettoriale!

[SkZ]

intendi $ ~(x_i)\leq(y_i) $ se $ ~\forall j\; x_j\leq y_j $?

Non e' esattamente La relazione. Volendo ce ne sono anche altre.

intendevi dire che gli $ ~a_i $ sono positivi?

[fph]

In verità in verità vi dico, quella notazione, senza però la freccetta sopra lo zero, si usa comunemente in alcuni sottocampi dell'algebra lineare, posso citarvi decine di libri e articoli. Però la prima volta che appare si usa anche specificare cosa vuol dire a scanso di equivoci.

[jordan]

Be io l'ho vista parecchie volte (di solito si fa un po ondulata ma il simbolo Latex non lo so), si fph ha ragione avrei potuto chiarire il significato, ma rivolto specie ad edriv cerca di non essere sempre il Mistersimpatia della situazione !