Dubbio su Rolle

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
Rispondi
Enrico Leon
Messaggi: 237
Iscritto il: 24 nov 2008, 18:08
Località: Gorizia

Dubbio su Rolle

Messaggio da Enrico Leon » 03 dic 2008, 15:27

Proprio ieri spiegavo ad un ragazzo a cui do ripetizioni il Teorema di Rolle e discutevamo sul fatto che possono esistere più punti all'interno dell'intervallo che soddisfanno il teorema stesso. Però mi è sorto un dubbio: possono esistere infiniti punti siffatti? Lo stesso per Lagrange ovviamente.

Pigkappa
Messaggi: 1208
Iscritto il: 24 feb 2005, 13:31
Località: Carrara, Pisa

Messaggio da Pigkappa » 03 dic 2008, 15:44

Prendi la funzione nulla e l'intervallo che ti pare...

Enrico Leon
Messaggi: 237
Iscritto il: 24 nov 2008, 18:08
Località: Gorizia

Messaggio da Enrico Leon » 03 dic 2008, 16:29

Sì, ok, e se la funzione non è costante?

Avatar utente
Oblomov
Messaggi: 284
Iscritto il: 23 ott 2005, 13:18
Località: Bologna

Messaggio da Oblomov » 03 dic 2008, 17:56

Forse dirò una sciocchezza, ma allora mi sembra impossibile. Diciamo che quando penso a "infiniti punti in cui la derivata si azzera all'interno di un intervallo finito" penso a funzionacce come $ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) $, diciamo nell'intervallo $ \left[ 0, \frac{1}{\pi} \right] $: dalle ipotesi del teorema di Rolle non è necessario che la derivata esista anche nei punti estremi, ma deve esistere almeno la funzione stessa.
Sbaglio? Esistono controesempi?
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös

fph
Site Admin
Messaggi: 3636
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Messaggio da fph » 03 dic 2008, 18:18

Oblomov ha scritto:penso a funzionacce come $ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) $, diciamo nell'intervallo $ \left[ 0, \frac{1}{\pi} \right] $: dalle ipotesi del teorema di Rolle non è necessario che la derivata esista anche nei punti estremi, ma deve esistere almeno la funzione stessa.
Ma $ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) $ può essere estesa in modo continuo anche in x=0, mi sembra che non abbia niente che non vada...
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Avatar utente
mitchan88
Messaggi: 469
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da mitchan88 » 04 dic 2008, 22:41

In generale puoi far sì che l'insieme di punti in cui si annulla la derivata sia brutto a piacere, ad esempio che sia compatto, più che numerabile e totalmente sconnesso :P
[url:197k8v9e]http://antrodimitch.wordpress.com[/url:197k8v9e]

Membro del fan club di Ippo_

Avatar utente
Oblomov
Messaggi: 284
Iscritto il: 23 ott 2005, 13:18
Località: Bologna

Messaggio da Oblomov » 05 dic 2008, 23:19

fph ha scritto:Ma $ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) $ può essere estesa in modo continuo anche in x=0, mi sembra che non abbia niente che non vada...
Chiaro. Avrei dovuto pensarci.
mitchan88 ha scritto:In generale puoi far sì che l'insieme di punti in cui si annulla la derivata sia brutto a piacere, ad esempio che sia compatto, più che numerabile e totalmente sconnesso
Con lo spirito di masochismo che mi è proprio, ti chiedo di fare qualche esempio di funzioni del genere :D
Why are numbers beautiful? It’s like asking why is Beethoven’s Ninth Symphony beautiful. If you don’t see why, someone can’t tell you. I know numbers are beautiful. If they aren’t beautiful, nothing is. - P. Erdös

Avatar utente
SkZ
Messaggi: 3333
Iscritto il: 03 ago 2006, 21:02
Località: Concepcion, Chile
Contatta:

Messaggio da SkZ » 06 dic 2008, 01:29

EDIT: ok reso conto che mi ero un po' confuso e faceva schifo :oops:
Ultima modifica di SkZ il 08 dic 2008, 00:05, modificato 1 volta in totale.
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php

Avatar utente
mitchan88
Messaggi: 469
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da mitchan88 » 07 dic 2008, 23:51

Oblomov ha scritto:
mitchan88 ha scritto:In generale puoi far sì che l'insieme di punti in cui si annulla la derivata sia brutto a piacere, ad esempio che sia compatto, più che numerabile e totalmente sconnesso
Con lo spirito di masochismo che mi è proprio, ti chiedo di fare qualche esempio di funzioni del genere :D
Prendi l'insieme di Cantor K in [0,1] che gode delle belle proprietà che ho detto sopra, definisci la funzione f(x) come la distanza di x da K; f è continua si annulla solo per x in K (essendo K compatto, e dunque chiuso). Ora prendi la fuzione integrale F di f con F(0)=0, che è derivabile essendo f continua, e la prolunghi in [1,2] in modo che sia derivabile, F(2)=0 (per soddisfare le ipotesi di Rolle) e la derivata non si annulli in modo strano (ad esempio non si annulli mai) et voilà :)
[url:197k8v9e]http://antrodimitch.wordpress.com[/url:197k8v9e]

Membro del fan club di Ippo_

Rispondi