Dubbio su Rolle

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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Enrico Leon
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Dubbio su Rolle

Messaggio da Enrico Leon »

Proprio ieri spiegavo ad un ragazzo a cui do ripetizioni il Teorema di Rolle e discutevamo sul fatto che possono esistere più punti all'interno dell'intervallo che soddisfanno il teorema stesso. Però mi è sorto un dubbio: possono esistere infiniti punti siffatti? Lo stesso per Lagrange ovviamente.
Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa »

Prendi la funzione nulla e l'intervallo che ti pare...
Enrico Leon
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Messaggio da Enrico Leon »

Sì, ok, e se la funzione non è costante?
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Oblomov
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Messaggio da Oblomov »

Forse dirò una sciocchezza, ma allora mi sembra impossibile. Diciamo che quando penso a "infiniti punti in cui la derivata si azzera all'interno di un intervallo finito" penso a funzionacce come $ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) $, diciamo nell'intervallo $ \left[ 0, \frac{1}{\pi} \right] $: dalle ipotesi del teorema di Rolle non è necessario che la derivata esista anche nei punti estremi, ma deve esistere almeno la funzione stessa.
Sbaglio? Esistono controesempi?
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fph
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Messaggio da fph »

Oblomov ha scritto:penso a funzionacce come $ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) $, diciamo nell'intervallo $ \left[ 0, \frac{1}{\pi} \right] $: dalle ipotesi del teorema di Rolle non è necessario che la derivata esista anche nei punti estremi, ma deve esistere almeno la funzione stessa.
Ma $ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) $ può essere estesa in modo continuo anche in x=0, mi sembra che non abbia niente che non vada...
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mitchan88
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Messaggio da mitchan88 »

In generale puoi far sì che l'insieme di punti in cui si annulla la derivata sia brutto a piacere, ad esempio che sia compatto, più che numerabile e totalmente sconnesso :P
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Oblomov
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Messaggio da Oblomov »

fph ha scritto:Ma $ x \sin \left( \frac{1}{x} \right) $ può essere estesa in modo continuo anche in x=0, mi sembra che non abbia niente che non vada...
Chiaro. Avrei dovuto pensarci.
mitchan88 ha scritto:In generale puoi far sì che l'insieme di punti in cui si annulla la derivata sia brutto a piacere, ad esempio che sia compatto, più che numerabile e totalmente sconnesso
Con lo spirito di masochismo che mi è proprio, ti chiedo di fare qualche esempio di funzioni del genere :D
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SkZ
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Messaggio da SkZ »

EDIT: ok reso conto che mi ero un po' confuso e faceva schifo :oops:
Ultima modifica di SkZ il 08 dic 2008, 00:05, modificato 1 volta in totale.
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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mitchan88
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Messaggio da mitchan88 »

Oblomov ha scritto:
mitchan88 ha scritto:In generale puoi far sì che l'insieme di punti in cui si annulla la derivata sia brutto a piacere, ad esempio che sia compatto, più che numerabile e totalmente sconnesso
Con lo spirito di masochismo che mi è proprio, ti chiedo di fare qualche esempio di funzioni del genere :D
Prendi l'insieme di Cantor K in [0,1] che gode delle belle proprietà che ho detto sopra, definisci la funzione f(x) come la distanza di x da K; f è continua si annulla solo per x in K (essendo K compatto, e dunque chiuso). Ora prendi la fuzione integrale F di f con F(0)=0, che è derivabile essendo f continua, e la prolunghi in [1,2] in modo che sia derivabile, F(2)=0 (per soddisfare le ipotesi di Rolle) e la derivata non si annulli in modo strano (ad esempio non si annulli mai) et voilà :)
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