Definizione di e [Dimostrazioni del secondo limite notevole]

[Fedecart]

Secondo limite notevole, ovvero la definizione di e.

Il limite per n che tende ad infinito di $ (1+\frac{1}{n})^n $ è uguale ad e.

Come si può dimostrare, possibilmente il più elementarmente possibile? Esiste più di una dimostrazione? Il mio libro di matematica lo da per scontato senza dimostrarlo, ugualmente la mia professoressa di matematica.

Grazie a chi si pronuncia!
(PS se mi insegnate anche a fare i limiti in LaTex vi sono doppiamente riconoscente!)

[Jack Luminous]

[cazzata] credo sia perchè sviluppando con newton viene fuori quella che è la definizione "profonda" di e...[/cazzata]

[Fedecart]

E qual'è la definizione "profonda" di e?
Per sviluppare con Newton intendi scriverlo come il limite per n che tende ad infinito di $ \frac{(n+1)^n}{n^n} $ e poi usare il binomio di Newton al numeratore?
Oppure fare direttamente il binomio di newton su 1 e $ \frac{1}{n} $?!

[Ani-sama]

Secondo limite notevole, ovvero la definizione di e.

Il limite per n che tende ad infinito di $ (1+\frac{1}{n})^n $ è uguale ad e.[...]

Il fatto è che tu puoi assumere quella come definizione di $ e $. È una possibilità. E in quel caso non ci sarebbe nulla da dimostrare, se non che quel limite effettivamente esiste, ma questo fatto può essere mostrato senza troppi problemi. Altrimenti, uno definisce $ e $ in un'altra maniera, e da quella definizione deduce che tale limite vale effettivamente $ e $. Insomma, è un problema di cosa prendi come definizione e cosa come teorema...

PS: i limiti in LaTeX:

Codice: Seleziona tutto

\lim

Es: $ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0 $

E qual è la definizione "profonda" di e?

Nessuna. Sono tutte equivalenti. Uno sceglie quella che più gli piace e dimostra che è equivalente alle altre possibili.

[SkZ]

Sostanzialmente la dimostrazione e' che il limite esiste finito.

poi si e' definito quel limite col nome di $ ~e $

[Jack Luminous]

bhe io ho sempre sentito dire che $ e=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!} $...

[Fedecart]

Grazie mille Ani-Sama. Stai iniziando a chiarirmi le idee...
Potresti ora indicarmi un modo in cui, partendo da un'altra definizionde di e (che non conosco tra l'altro) si arriva a dimostrare quel teorema?

Grazie anche per il limite di LaTex anche se dopo il \lim non ho capito come scrivere tutto il resto!

[Ani-sama]

Grazie anche per il limite di LaTex anche se dopo il \lim non ho capito come scrivere tutto il resto!

Codice: Seleziona tutto

\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0

Potresti ora indicarmi un modo in cui, partendo da un'altra definizionde di e (che non conosco tra l'altro) si arriva a dimostrare quel teorema?

In realtà, su due piedi, no. Dovrei documentarmi, comunque stai certo che è possibile.

bhe io ho sempre sentito dire che $ e=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!} $...

È una possibilità gettonata, ma ce ne sono altre, e formalmente sono tutte equivalenti. Il fatto di scegliere una definizione piuttosto di un'altra dipende da... boh, praticità di uso, chiarezza, gusti.

[SkZ]

la prima definizione e' quella del limite di $ $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $
l'altra e' successiva (penso che derivi proprio dallo sviluppo in serie dell'esponenziale )

[Davide90]

Anch'io avevo chiesto la stessa cosa qui

[Ani-sama]

la prima definizione e' quella del limite di $ $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n $
l'altra e' successiva (penso che derivi proprio dallo sviluppo in serie dell'esponenziale )

Intendi storicamente?

[SkZ]

e ha una storia interessante: e' stata usata come base per i logaritmi da Nepiero (1618) prima ancora di essere studiata (Eulero 1727).
lo sviluppo in serie e' opera di Newton (1669), formula ottima per calcolare il valore con la voluta precisione al contrario del limite trovato da Bernoulli

http://www.nationmaster.com/encyclopedia/E-(number)
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_di_Nepero
mathworld dice poco

in wiki c'e' anche la dim dell'equivalenza delle 2 definizioni serie/limite

[fph]

Dunque; innanzitutto meglio spostare questa roba in MNE
In un corso di analisi I fatto ammodino dovrebbe essere in quest'ordine:
-1- dai per buoni i naturali e l'induzione, definisci i reali e dimostri qualche loro proprietà di base
0- definisci la funzione esponenziale (con qualunque base positiva e esponente reale), dimostri che è monotona, e chiami logaritmo il suo inverso
1- definisci $ e:=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac 1n \right)^n $ (dimostrando che è monotona e limitata, quindi il limite esiste)
(bonus point: dimostri che si potrebbe definire anche $ e^x:=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac xn \right)^n $ e che la definizione è ben posta, cioè soddisfa tutte le proprietà che ci si aspettano da un esponenziale, e anzi che è un esponenziale)
2- dimostri con dei cambi di variabile che $ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}x=1 $, con ln il logaritmo in base e, e poi gli altri limiti notevoli con e
3- definisci continuità derivate eccetera
4- dimostri utilizzando i limiti notevoli che la derivata di $ e^x $ è $ e^x $ e quella di $ \ln x $ è $ 1/x $
5- dimostri la formula di Taylor (con tanti auguri)
6- dimostri che la formula di Taylor applicata all'esponenziale converge su tutti i reali (complessi), e quindi che $ e=\sum_{k=1}^\infty \frac1{k!} $

Non dico che sia l'Unico Modo Giusto, ma almeno si riesce a fare tutto con ordine e senza dover dare niente vero per grazia divina. In una quinta liceo, sistemare tutto questo è impossibile, quindi bisogna per forza barare un po'.

Una buona trattazione di 'sta roba accessibile a un liceale sta su "Che cos'è la matematica", Courant--Robbins, Bollati Boringhieri. Se non l'avete ancora vinto alle olimpiadi, procuratevene una copia perché è ottimo

[SkZ]

ah! Che bei ricordi!
Quasi mi commuovo

per chi interessa qui c'e' altro su cosa passava per la testa di Nepiero
http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm#History

[HarryPotter]

e ha una storia interessante: e' stata usata come base per i logaritmi da Nepiero (1618) prima ancora di essere studiata (Eulero 1727).
lo sviluppo in serie e' opera di Newton (1669), formula ottima per calcolare il valore con la voluta precisione al contrario del limite trovato da Bernoulli

Sto seguendo un corso di Storia della Matematica in due moduli: il secondo parla proprio della storia dei logaritmi. Vi linko il sito del professore che tiene il corso (scorrete in basso) e in particolare il secondo capitolo delle dispense che parla proprio dello scozzese John Napier. Nepero (da quando in italiano si dice Nepiero?), come si legge, non usava e come base dei suoi logaritmi, ma la strana espressione $ nl(x)=r \cdot \log_{\frac{1}{e}} \frac {x}{r} $, dove per nl si intende logaritmo neperiano e $ r $ è la lunghezza del sinus totus, cioè il raggio della circonferenza goniometrica che indicava la precisione con cui si svolgevano i conti e di solito era molto alto (Nepero usa $ 10^7 $).
Si noti inoltre come Nepero avesse un'idea fisica dei logaritmi, per la precisione cinematica: un moto geometrico e un moto aritmetico (noi diremmo uniforme) che partono con la stessa velocità.
I logaritmi ebbero grande importanza in quanto semplificavano notevolmente il lavoro degli astronomi, grazie anche al contributo di Briggs e Keplero.
Una piccola precisazione sulla data: la prima opera di Nepero sui logaritmi, la Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, in cui in pratica dà le prime tavole e spiega come fare i conti è stata edita nel 1614, mentre la Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, in cui spiega come è giunto ai logaritmi in maniera più rigorosa è del 1619 postuma.