Cesenatico 1991 - 2° problema
Cesenatico 1991 - 2° problema
Dimostrare che nessun numero della forma $ ~ a^3+3a^2+a $, con $ ~ a $ numero intero positivo, è un quadrato perfetto.
Provo a partire anche se non so concludere...
$ a^3+3a^2+a=a(a^2+3a+1)=a(a^2+3a+1-a+a)=a[(a+1)^2+a] $
Quindi dobbiamo dimostrare che $ a[(a+1)^2+a] $ non è un quadrato.
Ci sono 3 casi:
Caso 1: $ a[(a+1)^2+a]=a^2 $. Quindi $ (a+1)^2=0 $ se e soltanto se a=-1:IMPOSSIBILE dato che a>0...
Caso 2: $ a $ è un quadrato e anche $ a^2+3a+1 $... $ a^2+3a+1 $ è compreso tra $ (a+1)^2 $ e $ (a+2)^2 $ e dato che tra i quadrati di due numeri successivi non ci può essere un altro quadrato, allora $ a^2+3a+1 $ non può essere un quadrato...
Caso 3: $ a^2+3a+1 $ è uguale a $ a^n $ (con n dispari).. E questo non so come risolverlo...
Qualcuno mi corregga...
$ a^3+3a^2+a=a(a^2+3a+1)=a(a^2+3a+1-a+a)=a[(a+1)^2+a] $
Quindi dobbiamo dimostrare che $ a[(a+1)^2+a] $ non è un quadrato.
Ci sono 3 casi:
Caso 1: $ a[(a+1)^2+a]=a^2 $. Quindi $ (a+1)^2=0 $ se e soltanto se a=-1:IMPOSSIBILE dato che a>0...
Caso 2: $ a $ è un quadrato e anche $ a^2+3a+1 $... $ a^2+3a+1 $ è compreso tra $ (a+1)^2 $ e $ (a+2)^2 $ e dato che tra i quadrati di due numeri successivi non ci può essere un altro quadrato, allora $ a^2+3a+1 $ non può essere un quadrato...
Caso 3: $ a^2+3a+1 $ è uguale a $ a^n $ (con n dispari).. E questo non so come risolverlo...
Qualcuno mi corregga...
Ultima modifica di Bellaz il 02 dic 2008, 18:16, modificato 2 volte in totale.
"Quando un uomo siede un'ora in compagnia di una bella ragazza, sembra sia passato un minuto. Ma fatelo sedere su una stufa per un minuto e gli sembrerà più lungo di qualsiasi ora. Questa è la relatività." (Albert Einstein)
innanzitutto
$ ~n\pm a\neq n+a-a $
e non limitarti ad un IMPOSSIBILE ma accenna almeno ai motivi
in generale se $ ~ab $ e' un quadrato allora, (dato che e' simile all'hint di kn)
$ ~n\pm a\neq n+a-a $
e non limitarti ad un IMPOSSIBILE ma accenna almeno ai motivi
in generale se $ ~ab $ e' un quadrato allora, (dato che e' simile all'hint di kn)
posto c=(a,b), a=cn^2 e b=cm^2
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
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Ok, provo a completare la mia "dimostrazione"...
Ero arrivato a dover dimostrare che $ a(a^2+3a+1) $ non è un quadrato... Siccome $ a $ e $ a^2+3a+1 $ sono relativamente primi quindi devono essere entrambi dei quadrati...
Osserviamo però che, essendo $ a^2+3a+1 $ compreso tra $ (a+1)^2 $ e $ (a+2)^2 $ ed essendo $ a $ un numero intero positivo, $ a^2+3a+1 $ non può essere un quadrato siccome tra i quadrati di due numeri successivi non ci può essere un altro quadrato...
Ora va bene??[/tex]
Ero arrivato a dover dimostrare che $ a(a^2+3a+1) $ non è un quadrato... Siccome $ a $ e $ a^2+3a+1 $ sono relativamente primi quindi devono essere entrambi dei quadrati...
Osserviamo però che, essendo $ a^2+3a+1 $ compreso tra $ (a+1)^2 $ e $ (a+2)^2 $ ed essendo $ a $ un numero intero positivo, $ a^2+3a+1 $ non può essere un quadrato siccome tra i quadrati di due numeri successivi non ci può essere un altro quadrato...
Ora va bene??[/tex]
"Quando un uomo siede un'ora in compagnia di una bella ragazza, sembra sia passato un minuto. Ma fatelo sedere su una stufa per un minuto e gli sembrerà più lungo di qualsiasi ora. Questa è la relatività." (Albert Einstein)
sicuramente c'è un modo più elegante
$ $a^3+3a^2+a=a(a^2+3a+1)=x^2 $, da cui che o $ $a|x $ o $ $x \equiv \sqrt a (mod a) $ o $ $x \equiv - \sqrt a (mod a) $
.....
EDIT: SCUSATE PER LA CARRETTATA DI SCEMENZE
$ $a^3+3a^2+a=a(a^2+3a+1)=x^2 $, da cui che o $ $a|x $ o $ $x \equiv \sqrt a (mod a) $ o $ $x \equiv - \sqrt a (mod a) $
.....
EDIT: SCUSATE PER LA CARRETTATA DI SCEMENZE
Ultima modifica di bestiedda il 02 dic 2008, 21:34, modificato 1 volta in totale.
marco
$ $x^2 $ è multiplo di a quindi ci sono quei tre casi no?EUCLA ha scritto:Come arrivi a dire che $ a\vert x $?bestiedda ha scritto: $ $a(a^2+3a+1)=x^2 $, da cui che o $ $a|x $ o $ $x \equiv \sqrt a (mod a) $ o $ $x \equiv - \sqrt a (mod a) $
La parte dopo coi moduli mi è ancora più oscura, ma intanto risolviamo questa
---
Ok a Bellaz
marco
[edit: cancellato: vedi soluzione di Bellazbestiedda ha scritto:sicuramente c'è un modo più elegante
@Bellaz, scusa non avevo letto il tuo post]
Ultima modifica di jordan il 02 dic 2008, 21:49, modificato 1 volta in totale.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Che alla fine è quello che ho scritto io, no?jordan ha scritto:$ (a,a^2+3a+1)=1 \implies a=b^2, (b^2+1)^2<(b^2+1)^2+b^2<(b^2+2)^2 $ ?bestiedda ha scritto:sicuramente c'è un modo più elegante
"Quando un uomo siede un'ora in compagnia di una bella ragazza, sembra sia passato un minuto. Ma fatelo sedere su una stufa per un minuto e gli sembrerà più lungo di qualsiasi ora. Questa è la relatività." (Albert Einstein)
Premetto che, oltre ad essere nuovo del forum, sono anche, almeno per ora, poco pratico di TdN vi propongo comunque un'osservazione:
Se $ a^2+3a+1 $ è un quadrato perfetto, allora può essere scritto come $ (a+1)^2+a=x^2 $.
Si potrebbe arrivare a dimostrare che ciò è assurdo dimostrando che $ (a+1, \sqrt{a}, x) $ non rappresenta una terna pitagorica?
Se $ a^2+3a+1 $ è un quadrato perfetto, allora può essere scritto come $ (a+1)^2+a=x^2 $.
Si potrebbe arrivare a dimostrare che ciò è assurdo dimostrando che $ (a+1, \sqrt{a}, x) $ non rappresenta una terna pitagorica?