masochismo trigonometrico
masochismo trigonometrico
Un mio amico con chiare tendenze suicide, mi ha proposto questo simpatico problema: trovare una formula generale per esprimere $ $sin(n\alpha) $ e $ $cos(n\alpha) $ in funzione di $ $sin(\alpha) $ e $ $cos(\alpha) $. Mentre io provavo a trovare un metodo generale per fare 'sti maledetti conti, un'induzione o qualcosa del genere, lui molto allegramente calcolava cose come $ $sin(9\alpha) $. Come era prevedibile, si trovano parecchie simmetrie, a volte sfocianti nella numerologia, ma i numeri e i conti aumentano a vista d'occhio. Io ho trovato una semistrada, devo però ancora riordinarla e non sembra una cosa facile. Qualcuno ha un'idea decente (spero più della mia)?
Quello che i soprapostanti ti stanno suggerendo in modo un po' criptico è di andare sul sito di Gobbino e scaricare la lezione di Algebra I (polinomi e complessi) di uno stage senior. 
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
Le formule più semplici secondo me sono queste:
$ \displaystyle\cos{nx}=\binom{n}{0}\cos^n x - \binom{n}{2}\cos^{n-2} x\sin^2 x + \binom{n}{4}\cos^{n-4} x\sin^4 x - \binom{n}{6}\cos^{n-6} x\sin^6 x + \dots + (-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k} x\sin^{2k} x + \dots $
$ \displaystyle\sin{nx}=\binom{n}{1}\cos^{n-1} x\sin x - \binom{n}{3}\cos^{n-3} x\sin^3 x + \binom{n}{5}\cos^{n-5} x\sin^5 x - \binom{n}{7}\cos^{n-7} x\sin^7 x + \dots + (-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1} x\sin^{2k+1} x + \dots $
Si ottengono combinando la formula di De Moivre con quella di Newton della potenza di un binomio
$ \displaystyle\cos{nx}=\binom{n}{0}\cos^n x - \binom{n}{2}\cos^{n-2} x\sin^2 x + \binom{n}{4}\cos^{n-4} x\sin^4 x - \binom{n}{6}\cos^{n-6} x\sin^6 x + \dots + (-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k} x\sin^{2k} x + \dots $
$ \displaystyle\sin{nx}=\binom{n}{1}\cos^{n-1} x\sin x - \binom{n}{3}\cos^{n-3} x\sin^3 x + \binom{n}{5}\cos^{n-5} x\sin^5 x - \binom{n}{7}\cos^{n-7} x\sin^7 x + \dots + (-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1} x\sin^{2k+1} x + \dots $
Si ottengono combinando la formula di De Moivre con quella di Newton della potenza di un binomio
a proposito di quella formula
$ $\dots=\sum_{k=0}^ne^{ikx}=\dots $
PS: a che pro? e' piu' facile da ricordare cosi'
$ $\dots=\sum_{k=0}^ne^{ikx}=\dots $
PS: a che pro? e' piu' facile da ricordare cosi'
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