Disuguaglianza
Disuguaglianza
Credo che per voi sia facile dimostrare che (scusate se non so scrivere con in tex):
sommatoria per i che va da 1 a n del valore assoluto di xi minore uguale di radicaln per la sommatoria per i che va da 1 a n di xi al quadrato.
Scusate ancora se non so scrivere col tex.
Grazie[/tex]
sommatoria per i che va da 1 a n del valore assoluto di xi minore uguale di radicaln per la sommatoria per i che va da 1 a n di xi al quadrato.
Scusate ancora se non so scrivere col tex.
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Re: Disuguaglianza
$ $\sum_{i=1}^n |x_i| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$ $karotto ha scritto:Credo che per voi sia facile dimostrare che (scusate se non so scrivere con in tex):
sommatoria per i che va da 1 a n del valore assoluto di xi minore uguale di radicaln per la sommatoria per i che va da 1 a n di xi al quadrato.
Scusate ancora se non so scrivere col tex.
Grazie[/tex]
C'è qualcosa che non torna... che vuol dire "radicaln per la sommatoria"?
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
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[/i]
A memoria la somma dei moduli e' maggiore della radice della somma dei quadrati
(vedi propagazione degli errori).
(beh si vede facilmente prendendo n valori uguali)
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Dimostro $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{|x_i|} \le \sqrt{n \sum_{i=1}^n{x_i^2}} $:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{|x_i|} \le \sqrt{n \sum_{i=1}^n{|x_i|^2}} $
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{|x_i|} \le n\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{|x_i|^2}}{n}} $
e infine: $ \displaystyle \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{|x_i|}}{n} \le \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{|x_i|^2}}{n}} $,
vera per AM-QM
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{|x_i|} \le \sqrt{n \sum_{i=1}^n{|x_i|^2}} $
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{|x_i|} \le n\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{|x_i|^2}}{n}} $
e infine: $ \displaystyle \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{|x_i|}}{n} \le \sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{|x_i|^2}}{n}} $,
vera per AM-QM
È partito dalla tesi, ma è andato avanti di "se e solo se", quindi l'AM-QM finale implica la tesi iniziale. In effetti è stato "fortunato", perché i passaggi algebrici sono sempre "se e solo se" (a parte quando si fanno cose strane tipo moltiplicare o dividere per 0). Fortunato tra virgolette perché credo sapesse quello che faceva, in ogni caso per star sicuri bisognerebbe sempre partire dalle ipotesi e arrivare alla tesi (anche se i ragionamenti li hai fatti nell'altro senso).
edit: battuto sul tempo da pig
edit: battuto sul tempo da pig
si
considerati n elementi positivi, la media quadratica (QM) e' maggiore uguale della media aritmetica (AM), che e' maggiore uguale alla media geometrica (GM), che e' maggiore uguale alla media armonica (HM)
QM= radice quadra della media aritmetica dei quadrati
AM= media classica
GM= radice n-esima del prodotto degli n valori (il suo log e' la media dei log dei valori )
HM=inverso della media aritmetica degli inversi dei valori
considerati n elementi positivi, la media quadratica (QM) e' maggiore uguale della media aritmetica (AM), che e' maggiore uguale alla media geometrica (GM), che e' maggiore uguale alla media armonica (HM)
QM= radice quadra della media aritmetica dei quadrati
AM= media classica
GM= radice n-esima del prodotto degli n valori (il suo log e' la media dei log dei valori )
HM=inverso della media aritmetica degli inversi dei valori
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Più in generale, si definiscono le medie p-esime di $ $a_1,...,a_n\in \mathbb{R}^+ $ come
$ $M_p(a_1,...,a_n)=\left(\frac {a_1^p+...a_n^p}n\right)^{\frac1p} $
e per p<q si ha la disuguaglianza $ $M_p(a_1,...,a_n)\le M_q(a_1,...,a_n) $, vale il segno di uguaglianza se e solo se tutti gli $ $a_i $ sono uguali.
Le medie classiche sono medie p-esime per particolari valori di p, inoltre per p tendente rispettivamente a +infinito, -infinito e zero abbiamo il massimo di (a_1,...,a_n), il minimo di (a_1,...,a_n) e la media geometrica.
$ $M_p(a_1,...,a_n)=\left(\frac {a_1^p+...a_n^p}n\right)^{\frac1p} $
e per p<q si ha la disuguaglianza $ $M_p(a_1,...,a_n)\le M_q(a_1,...,a_n) $, vale il segno di uguaglianza se e solo se tutti gli $ $a_i $ sono uguali.
Le medie classiche sono medie p-esime per particolari valori di p, inoltre per p tendente rispettivamente a +infinito, -infinito e zero abbiamo il massimo di (a_1,...,a_n), il minimo di (a_1,...,a_n) e la media geometrica.
quelle relazioni tra medie si dimostrano pure loro, non sono assiomi.
E' che normalmente sono relazioni che si danno per note
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Sì di solito per quanto riguarda l'algebra si può fare, anche se con le disequazioni bisogna stare attenti. Le operazioni più comuni che si fanno con le equazioni sono dei "se e solo se"julio14 ha scritto:È partito dalla tesi, ma è andato avanti di "se e solo se"
(anche con le disequazioni); se invece un passaggio ha a che fare solo con le disequazioni spesso non può essere percorso al contrario
es.: $ a+x \le b \wedge a \ge 0 \implies x \le b $ ma non è vero che $ x \le b \implies a+x \le b \wedge a \ge 0 $
se ho scritto eresie correggetemi
p.s.: $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{|x_i|} \le \sqrt{n \sum_{i=1}^n{x_i^2}} $ si dimostra più velocemente con Cauchy-Schwarz sulle tuple $ (|x_1|,|x_2|,\dots,|x_{n-1}|,|x_n|) $ e $ (1,1,\dots,1,1) $