Sapendo che $ r_{10}=100 $ determinare $ r_{1000} $
easy avarage roots (from wc and others)
easy avarage roots (from wc and others)
Sia $ f(x) $ un polinomio di grado >1. Sia $ r_n $ la media delle radici di $ f(f(f(...f(x)))) $ n-volte.
Sapendo che $ r_{10}=100 $ determinare $ r_{1000} $
Sapendo che $ r_{10}=100 $ determinare $ r_{1000} $
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Ooops... avevo sbagliato tutto
Ho cambiato idea: la media aritmetica delle radici è costante
in un polinomio di grado d > 1.
Se $ f(x)=a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+\dots+a_1x+a_0 $ e
$ f_n(x)=f(f(f(\dots f(x)))) $ (n volte) allora
$ f_{n+1}(x) $ ha il coefficiente di grado $ d^{n+1} $
(cioè il 1°) $ = p_n^d a_d $ con $ p_n $ che è il coeff. di grado $ d^n $ di $ f_n(x) $
e ha il coefficiente di grado $ d^{n+1}-1 $
(cioè il 2°) $ = d p_n^{d-1} q_n a_d $ con $ q_n $ che è il coeff. di grado $ d^n-1 $ di $ f_n(x) $
Quindi $ \frac{q_{n+1}}{p_{n+1}}=\frac{q_n}{p_n} d $
e sapendo che $ \frac{q_{10}}{p_{10}}=-10 d^{10} $ abbiamo $ \frac{q_{1000}}{p_{1000}}=d^{990} (-10 d^{10})=-10 d^{1000} $
e infine $ r_{1000}=10=r_{10} $
Ho cambiato idea: la media aritmetica delle radici è costante
in un polinomio di grado d > 1.
Se $ f(x)=a_dx^d+a_{d-1}x^{d-1}+\dots+a_1x+a_0 $ e
$ f_n(x)=f(f(f(\dots f(x)))) $ (n volte) allora
$ f_{n+1}(x) $ ha il coefficiente di grado $ d^{n+1} $
(cioè il 1°) $ = p_n^d a_d $ con $ p_n $ che è il coeff. di grado $ d^n $ di $ f_n(x) $
e ha il coefficiente di grado $ d^{n+1}-1 $
(cioè il 2°) $ = d p_n^{d-1} q_n a_d $ con $ q_n $ che è il coeff. di grado $ d^n-1 $ di $ f_n(x) $
Quindi $ \frac{q_{n+1}}{p_{n+1}}=\frac{q_n}{p_n} d $
e sapendo che $ \frac{q_{10}}{p_{10}}=-10 d^{10} $ abbiamo $ \frac{q_{1000}}{p_{1000}}=d^{990} (-10 d^{10})=-10 d^{1000} $
e infine $ r_{1000}=10=r_{10} $
Una dimostrazione un po' più decente... 
Se s è una radice di $ ~ f(x) $ allora alcune delle radici di $ ~ f_{n+1}(x) $
sono quelle di $ ~ f_n(x)-s $ (perché così $ ~ f(f_n(x))=f(s)=0 $).
Ma allora si ottengono d polinomi tutti con il coeff. corrispondente alla somma delle radici = a quello di $ ~ f_n(x) $.
La media delle radici è uguale a quella di $ ~ f_n(x) $, dal momento che il grado è invariato.
La somma di queste medie divisa per d è $ ~ r_{n+1} $, quindi $ ~ r_{n+1}=r_n $. Per induzione $ ~ r_{1000}=r_{10} $.
Se s è una radice di $ ~ f(x) $ allora alcune delle radici di $ ~ f_{n+1}(x) $
sono quelle di $ ~ f_n(x)-s $ (perché così $ ~ f(f_n(x))=f(s)=0 $).
Ma allora si ottengono d polinomi tutti con il coeff. corrispondente alla somma delle radici = a quello di $ ~ f_n(x) $.
La media delle radici è uguale a quella di $ ~ f_n(x) $, dal momento che il grado è invariato.
La somma di queste medie divisa per d è $ ~ r_{n+1} $, quindi $ ~ r_{n+1}=r_n $. Per induzione $ ~ r_{1000}=r_{10} $.