Giochi archimede 4!

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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k3v
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Giochi archimede 4!

Messaggio da k3v » 29 ott 2008, 23:30

Da un semicerchio di cartone di raggio 10 cm si ritaglia un cerchio di diametro massimo. Dai due tronconi rimasti si ritagliano due cerchi di diametro massimo.
Qual'è la percentuale di cartoncino sprecata?

Agostino
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Messaggio da Agostino » 01 nov 2008, 17:01

In analitica, almeno concettualmente è affrontabile ma richiederebbe troppo tempo...ci deve essere qualcosa di meno lungo...(forse potrebbe bastare dare un occhio alle soluzioni possibili :lol: )
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String
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Messaggio da String » 01 nov 2008, 17:22

Per caso è 25%?
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)

bestiedda
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Messaggio da bestiedda » 01 nov 2008, 18:23

Agostino ha scritto:In analitica, almeno concettualmente è affrontabile ma richiederebbe troppo tempo...ci deve essere qualcosa di meno lungo...(forse potrebbe bastare dare un occhio alle soluzioni possibili :lol: )
è uno di quei problemi che avrei risolto ad esclusione....con l'analitica ho desistito dopo la seconda pagina di calcoli :oops:
marco

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exodd
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Messaggio da exodd » 01 nov 2008, 18:29

$ 1/4 $
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

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"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 01 nov 2008, 18:44

a occhio rimane circa il 25% (dopo il primo taglio rimane il 50%)
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Messaggio da exodd » 01 nov 2008, 18:51

non c'è bisogno dell'analitica, ma solo di un paio di teoremi di pitagora
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Agostino
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Messaggio da Agostino » 01 nov 2008, 18:52

exodd ha scritto:non c'è bisogno dell'analitica, ma solo di un paio di teoremi di pitagora
e più precisamente?
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String
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Messaggio da String » 01 nov 2008, 20:19

Mah, io non ho usato Pitagora...
Ho visto che il quadrato più grande all'interno del quale è inscrivibile un cerchio appartenente al semicerhio iniziale è quello di lato 10cm al centro del semicerchio. Una volta ritagliato il cerchio (che ha quindi raggio pari a 5cm) si vede allo stesso modo che il quadrato più grande all'interno del quale è inscrivibile un cerchio appartenente al semicerhio iniziale, è quello di lato 5cm con la base posta sul raggio del semicerchio iniziale, quindi con il cerchio di raggio pari a 2,5cm... il resto poi sono calcoli
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)

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Haile
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Messaggio da Haile » 01 nov 2008, 20:45

String ha scritto:Mah, io non ho usato Pitagora...
Ho visto che il quadrato più grande all'interno del quale è inscrivibile un cerchio appartenente al semicerhio iniziale è quello di lato 10cm al centro del semicerchio. Una volta ritagliato il cerchio (che ha quindi raggio pari a 5cm) si vede allo stesso modo che il quadrato più grande all'interno del quale è inscrivibile un cerchio appartenente al semicerhio iniziale, è quello di lato 5cm con la base posta sul raggio del semicerchio iniziale, quindi con il cerchio di raggio pari a 2,5cm... il resto poi sono calcoli
Come dimostri che il raggio dei due cerchi piccoli è 2.5 cm sapendo che il raggio del semicerchio è 10 cm e quello del cerchio grande 5 cm?

Immagine
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.

[/i]

String
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Messaggio da String » 02 nov 2008, 11:50

A dire la verità sono andato ad intuito :lol:
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ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)

andreac
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Messaggio da andreac » 02 nov 2008, 12:54

Haile ha scritto:
String ha scritto:Mah, io non ho usato Pitagora...
Ho visto che il quadrato più grande all'interno del quale è inscrivibile un cerchio appartenente al semicerhio iniziale è quello di lato 10cm al centro del semicerchio. Una volta ritagliato il cerchio (che ha quindi raggio pari a 5cm) si vede allo stesso modo che il quadrato più grande all'interno del quale è inscrivibile un cerchio appartenente al semicerhio iniziale, è quello di lato 5cm con la base posta sul raggio del semicerchio iniziale, quindi con il cerchio di raggio pari a 2,5cm... il resto poi sono calcoli
Come dimostri che il raggio dei due cerchi piccoli è 2.5 cm sapendo che il raggio del semicerchio è 10 cm e quello del cerchio grande 5 cm?

Immagine
Mi sono permesso di sporcare la tua immagine (pura pigrizia) aggiungendo un po' di tangenti e raggi.

Si trova che (o ragioniamo sul trapezio o su qualche triangolo)

$ Rr = x^2 $

Ovvero $ r = \frac{x^2}{R} $

Che è sempre crescente. Per r abbiamo anche un upper-bound
$ MAX(r) = \frac{R}{2} $

Di più non può essere, altrimenti ovviamente sarà secante almeno uno tra la circonferenza O'-R e la semicirconferenza.

Puta caso, sarà proprio r = R/2 = 5/2 ? Verifichiamolo.

Sistema cartesiano, O (0,0) centro della semicirconferenza, O' in (0,5) $ O''(-5\sqrt{2}; \frac{5}{2}) $

Calcoliamo la distanza $ O'O'' $ e viene proprio r+R, quindi le due circonferenze sono tangenti. Calcoliamo la distanza $ OO'' $ e viene proprio $ \frac{15}{2} $ ovvero 10-r, quindi la circonferenza piccola e tangente alla semicirconferenza.
Allegati
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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 02 nov 2008, 14:11

Si può calcolare r applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $ \triangle OO''H $ , dove con H indico la proiezione di $ O'' $ sul diametro della semicirconferenza. Poichè O e O'' sono allineati con il punto di tangenza della crf piccola e della semicrf, $ OO''=2R-r $ . Perciò
$ \displaystile r^2 + (2x)^2 = (2R-r)^2 $
Dato che $ x^2 = Rr $ , si ottiene
$ \displaystile r^2 + 4Rr = 4R^2-4Rr+r^2 $
$ \displaystile 4R^2-8Rr =0 \Rightarrow r= \frac{R}{2} =\frac{5}{2} $ .
Perciò $ \displaystile \frac {A_{sprecata}}{A_{totale}}= \frac {50\pi-25\pi-12,5\pi}{50\pi}=\frac{12,5}{50}=\frac{1}{4} $ .
La percentuale di cartoncino sprecata è il $ 25 $ %. (OT: come si fa la percentuale in $ \LaTeX $ ? :oops: /OT)

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 02 nov 2008, 18:48

% e' il simbolo usato in $ ~\LaTeX $ per commentare le righe
basta che lo "backslashi", come con molti altri caratteri speciali
\%
$ ~\% $
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